Interacion De Punto Fijo Visul Basic

l método de la iteración de punto fijo para resolver una ecuación no lineal f(x) = 0 pasa por transformarla en una equivalente, x = g(x) , y ejecutar la iteración x(k+1) = g(x(k)) a partir de un cierto x(0) hasta que se satisfaga el criterio de parada elegido o se alcance el número de iteraciones máximo admitido.
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximaciónsucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).
Llamemos x * a la raíz de f. Supongamos que existe y es conocida la función g tal que:
f(x) = x − g(x) del dominio.
Entonces:

Tenemos, pues, a x * como punto fijo de g.
Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función f(x) = x2 – 4

Teorema (sobre la existencia y unicidad del punto fijo).

6. Teorema(convergencia del m_etodo de punto _jo). Sea g 2 C[a; b] tal que g(x) 2 [a; b]
para todo x 2 [a; b], existe g0 en (a; b) y existe k 2 (0; 1) tal que jg0(x) _ k para todo x 2 (a; b).
Entonces, para cualquier n_umero p0 2 [a; b], la sucesi_on fpng1
n=1 de_nida por
pn = g(pn-1); n _ 1;
converge al punto _jo de la funci_on g en [a; b].
7. Ejemplo. Checar las hip_otesis del teorema para la funci_ong(x) = _ + 1
2 sin(x=2) en el
intervalo [0; 2_].
8. Corolario (cotas del error en la iteraci_on de punto _jo).
jpn - pj _ kn m_axfp0 - a; b - p0g; jpn - pj _
kn
1 - k
jp1 - p0j:
9. Proposici_on (condici_on su_ciente para la divergencia del m_etodo punto _jo). Sea
g 2 C[a; b] tal que jg0(x)j _ 1 para todo x 2 (a; b), sea p 2 [a; b] un punto _jo de g y sea
x0 2 [a; b] n fpg. Entonces lasucesi_on fxng1
n=1 de_nida por xn = g(xn-1) no converge al punto p.
10. Gr_a_cas para los casos cuando f crece o decrece, cuando jf0j < 1 o jf0j _ 1.
11. Ejemplo. Contruya una funci_on g y un intervalo [a; b] tales que g cumpla con las condiciones
del teorema sobre la convergencia del m_etodo de punto _jo y el punto _jo de g sea la
soluci_on positiva de la ecuaci_on:
x2 - sin x = 0:
12.Ejercicio. Lo mismo para las ecuaciones 3x2 - ex = 0 y x - cos x = 0.
13. Tarea adicional (algoritmo babil_onico como iteraci_on de punto _jo). Sea A > 0
un n_umero dado. Vamos a aplicar el m_etodo de punto _jo a la funci_on
g(x) =
1
2
_
x +
A
x
_
:
Muestre que pA es el _unico punto _jo positivo de g.
Demuestre que g cumple con las condiciones del teorema sobre la convergencia depunto
_jo en cualquier intervalo [pA; B] donde B > pA.
Muestre que 1+A
2 _ pA para todo A > 0. Por lo tanto, el punto x0 = 1+A
2 se puede usar
como punto inicial.
Muestre que la sucesi_on fxng1
n=0 de_nida por xn+1 = g(xn) para todo n _ 0 converge para
todo x0 > 0. Indicaci_on: explique que pasa cuando 0 < x0 < pA.
p_agina 2 de 4
Condiciones su_cientes de la convergencia
delm_etodo de Newton-Raphson
14. M_etodo de Newton-Raphson como un caso particular del m_etodo de punto _jo.
El m_etodo de Newton-Raphson est_a basado en la f_ormula
xn = xn-1 -
f(xn-1)
f0(xn-1)
que se puede escribir como
xn = g(xn-1);
donde
g(x) = x -
f(x)
f0(x)
:
Un punto x es una ra__z de f si y s_olo si x es un punto _jo de g.
Necesitamos dos propiedades simples de las funcionescontinuas.
15. Una de las propiedades de las funciones continuas: si una funci_on continua se
anula en punto, entonces en los puntos bastante cercanos toma valores peque~nos.
Sea h: [a; b] ! R una funci_on continua, sea p 2 (a; b) tal que h(p) = 0 y sea " > 0. Entonces
existe un _ > 0 tal que [p - _; p + _] _ [a; b] y para todo x 2 [p - _; p + _] se cumple la
desigualdad jh(x)j < ".Demostraci_on. Aplicamos la de_nici_on de la continuidad de la funci_on h en el punto p: existe
un _ > 0 tal que para todo x 2 [p-_; p+_]\[a; b] se cumple la desiguadad jh(x)-h(p)j < ".
Falta notar que h(p) = 0 y que _ se puede elegir tan peque~no que [p - _; p + _] _ [a; b].
16. Otra propiedad de las funciones continuas: si una funci_on continua no se anula en
un punto, entonces tampoco...