Interacion de punto fijo

1. Introducción
La raíz de la ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con una cierto grado de aproximación deseado (error máximo permitido).
Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula ha de desarrollarse como una intervención simple de punto fijo.
2. Objetivo
Alterminar esta unidad de estudio, el estudiante estará en capacidad de:
Aprender el concepto de raíz de una ecuación de método abierto.
Comprender las distintas técnicas usadas para hallar raíces de ecuaciones.
Evaluar la confiabilidad de cada método.
Estar en capacidad de elegir el mejor método para aplicarlo en la solución de problemas de ingeniería, relacionados con la búsqueda de raíces de unaecuación.
3. Métodos
3.1. Iteración simple de puto fijo
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia. Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puededesarrollarse como una iteración simple de punto fijo. Este método junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. No obstante que en la actualidad existen otros métodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más simple en sus principios y en él se pueden apreciar claramente todas las características de unmétodo de aproximaciones sucesivas.
Sea F(x) = 0 una ecuación algebraica o trascendente cualquiera. Se suma x en ambos miembros y se obtiene:     
F(x)   +  x   =   x (1)
Donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como                                                         
G(x)  +    x   =  x (2)
Se sustituye en la ecuación(1):                                                                                                                          
x   =  G(x) (3)
Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo:

Se arregla para obtener

Mientras que sen x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuación (3) sumando x a ambos lados para obtener
x = sen x + x
La utilidad de la ecuación (3) es que proporciona una fórmulapara predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor inicial para la raíz xi, la ecuación (3) se utiliza para obtener una nueva aproximación xi+1, expresada por la fórmula iterativa
xi+1 = g(xi) (4)
Ejemplo 1
Use una iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de .
Para dar solución se puede separar directamente y expresarse en laforma de la ecuación 4 como

Empezando con un valor inicial , se aplica esta ecuación iterativa para calcular.

De esta manera se puede observar que cada iteración se acerca cada vez más al valor aproximado al valor verdadero de la raíz: 0.56714329.
Ejemplo 2
Use la iteración de punto fijo para resolver la siguiente ecuación 𝑒𝑥−1=1.5𝑥
Utilizando el algoritmo para evaluar la convergencia se resolveríade la siguiente manera:
1. Igualar f(x)=0
2. Tabular y graficar f(x) =0

Aquí nos podemos dar cuenta que esta es una función que tiene dos raíces: entre cero y uno y entre dos y tres.
3. Sumar x en f(x)
f(x) + x = x
f(x) + x = g(x)

g(x) = 𝑒𝑥−1−1.5𝑥+𝑥
g(x) = 𝑒𝑥−1−0.5𝑥
4. Xo = (Xn + Xn1)/2
Xo =(0+1)/2 = 0.5
5. |g’(x)|<1
𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥−1−0.5
𝑔′(𝑥0)=0.107
|𝑔′(𝑥0)| = 0.107 < 1
Como se puede observar elresultado es menor a 1 por lo tanto se puede deducir que la ecuación es convergente.
6. Iterar
X1= g(X0)=0.3678
X2= g(0.3678)=0.3475
X3=g(0.3475)=0.3469


3.2. Método Newton-Raphson
Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuación algebraica o trascendente, el de Newton-Raphson es el que presenta...