Interes Simple Y Compuestos

INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital Inicial (CI) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (n),en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Cálculo del interés compuesto
Para unperíodo de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula con base a la fórmula

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

donde:

 es el capital final en el enésimo período;
 es el capital inicial;
 tasa de interés
 el número de períodosEjemplo de interés compuesto
Empecemos con un ejemplo, que lo hace todo más sencillo. Si tenemos 1000 euros en una cuenta que nos da el 10% anual y los intereses los paga anualmente, ¿cuánto dinero hay al cabo de dos años? Algunos dirán que 1200 euros, ya que el primer año tendremos 100 euros de intereses (10% de 1000 euros), y el segundo también 100 euros.
Sin embargo, si los intereses sedepositan en la misma cuenta, esto no es cierto, ya que al comienzo del segundo año tendremos de capital 1100 euros, y el 10% de dicha cantidad es 110 euros. Por tanto al cabo de dos años tendremos 1210 euros. Ahí radica el interés compuesto.

Cálculo del interés compuesto
Por tanto, para calcular cuánto dinero genera el interés compuesto no vale con multiplicar el capital inicial por la tasa deinterés y el número de periodos de cálculo, la cosa es algo más complicada. Pero es fácil deducir la fórmula. Si C es el capital inicial, i la tasa de interés y suponemos que los intereses se pagan mensualmente tendremos los siguientes capitales según pasen los meses (C1, C2, ...):

C1 = C * (1 + i)
C2 = C1 * (1 + i) = C * (1 + i) * (1 + i) = C * (1 + i)^2
...
Cn = C * (1 + i)^n

Aplicandoesta fórmula al ejemplo anterior (hay que cambiar meses por años, ya que el interés se paga anualmente) tenemos que el capital después de dos años sería:

C2 = 1000 * (1 + 0,1)^2 = 1000 * 1,1^2 = 1000 * 1,21 = 1210 euros
Justo como habíamos calculado antes.

Cálculo de interés compuesto de forma anual
Otro caso importante es saber el capital que tendremos en una cuenta al cabo de variosaños si los tipos de interés nos los dan anualizados (es lo típico) y el pago de intereses es mensual (también bastante típico). La fórmula que obtendremos es muy similar a la anterior, pero con algunas modificaciones:

Cfinal = C * ( 1 + r/n) ^ (n*t)

Donde r es la tasa de interés anual, n el número de periodos en el que nos pagan los intereses, en el caso de mensualmente, 12, y t el número deaños. Puede parecer que no, pero al final hay diferencias según los periodos en los que nos pagan los intereses, y lo vamos a ver en un ejemplo.

Ejemplo de distintos periodos de cálculo
Imaginemos que dos bancos distintos nos ofrecen dos depósitos. El primero, el del banco A, nos ofrece un depósito anual a un 20%, intereses pagados al finalizar el depósito. El segundo, el del banco B, nosofrece un depósito al 19%, pero los intereses se pagan mes a mes y se reingresan en el propio depósito.

En el caso A, es muy sencillo, si metemos 1000 euros obtendremos al cabo de un año 1200 euros, es decir, ganamos 200 euros. Puede parecer el más ventajoso. Pero hagamos los cálculos de interés compuesto en el caso del banco B usando la última fórmula.

Cfinal = 1000 (1 + 0,19/12) ^ 12 =1207,45 euros

Es decir, el pago de los intereses mensuales hace que el capital vaya aumentando con el tiempo y que dichos intereses generen un exceso de capital.
Por eso es importante no simplemente comparar los tipos de interés al comparar productos financieros, sino también los periodos de remuneración.
Eso sí, la ley nos ayuda, ya que existe la figura del TAE, tasa anual equivalente, que...