INTERESANTE

UNIDAD 11

APLICACIONES
DE LAS DERIVADAS

Página 298
Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada
Analiza la curva siguiente:

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada
Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:

D
A

E

C

B
fconvexa

f cóncava

f ' decreciente

f ' creciente

f '' < 0

G
F

f '' > 0

CD → f convexa → f ' decreciente → f" < 0
DE → f cóncava → f ' creciente → f" > 0
EF → f convexa → f ' decreciente → f" < 0
FG → f cóncava → f ' creciente → f" > 0
Unidad 11. Aplicaciones de las derivadas

1

Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:
• La funciónestá definida en [0, 7].
• Solo toma valores positivos.
• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).
• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.
• En el intervalo (2, 4), f '' > 0.
• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.
• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

1

0

1

2

3

4

5

6

7

Página 300
1. Halla las rectas tangentes a la curva:
3
2
y = 5x + 7x– 16x
x–2

en los puntos de abscisas 0, 1, 3.
Calculamos la derivada de la función:
2
3
2
3
2
y' = (15x + 14x – 16)(x – 2) – (5x + 7x – 16x) = 10x – 23x – 28x + 32
2
(x – 2)
(x – 2)2

Ordenadas de los puntos:
y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150
• Recta tangente en (0, 0): y ' (0) = 8
y = 8x
• Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = – 9
y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13
• Recta tangenteen (3, 150): y ' (3) = 11
y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117
Unidad 11. Aplicaciones de las derivadas

2

2. Halla las rectas tangentes a la circunferencia:
x 2 + y 2 – 2x + 4y – 24 = 0
en los puntos de abscisa x0 = 3.
Obtención de las ordenadas correspondientes:
32 + y 2 – 2 · 3 + 4y – 24 = 0
9 + y 2 – 6 + 4y – 24 = 0
y 2 + 4y – 21 = 0
y=

–4 ± √ 16 + 84
–4 ± √ 100
–4 ± 10
=
=
22
2

y = 3 → Punto (3, 3)
y = –7 → Punto (3, –7)

Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente:
2x + 2y y' – 2 + 4y' = 0
y' (2y + 4) = 2 – 2x
y' =

2 – 2x
1–x
=
2y + 4
y+2

Así: y' (3, 3) = –

2
2
; y' (3, –7) =
5
5

• Recta tangente en (3, 3): y = 3 –

2
2
21
(x – 3) = – x +
5
5
5

• Recta tangente en (3, –7): y = –7 +

2
2
41
(x – 3)= x –
5
5
5

Página 301
1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde crece.

b) Dónde decrece.

y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)
a) x < –1 → y' > 0 → f es creciente en (–∞, –1)
x > 3 → y' > 0 → f es creciente en (3, +∞)
b) –1 < x < 3 → y' < 0 → f es decreciente en (–1, 3)

Página 303
2. Comprueba que la función y = x 3/(x – 2)2 tiene solodos puntos singulares, en
x = 0 y en x = 6.
Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada.
Unidad 11. Aplicaciones de las derivadas

3

2
2
3
2
y' = 3x (x – 2) – 2(x – 2)x = x (x – 2) (3(x – 2) – 2x) =
(x – 2)4
(x – 2)4
2
2
= x (3x – 6 – 2x) = x (x – 6)
3
(x – 2)
(x – 2)3

x=0
x=6

y' = 0 → x 2 (x – 6) = 0

f ' (–0,01) > 0 
 En x = 0 hayun punto de inflexión.
f ' (0,01) > 0 
f ' (5,99) < 0 
 En x = 6 hay un mínimo relativo
f ' (6,01) > 0 
3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función
y = –3x 4 + 4x 3. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos.
b) Ídem para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.
a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2 (–x + 1)
y' = 0

x=0
x=1

→→

Punto (0, 0) 
 Dos puntos singulares.
Punto (1, 1) 

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5],
donde la función es derivable.

1
1

Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7.
• En (0, 0) hay un punto de inflexión.
• En (1, 1) hay un máximo relativo.
b) y' = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3)

y' = 0

x = –1
x = –2
x = –3

→
→
→

Punto (–1, 0) ...