INTERESANTE

Cap´ıtulo 8

Espacios vectoriales con
producto interno
En este cap´ıtulo, se generalizar´an las nociones geom´etricas de distancia y perpendicularidad,
conocidas en R2 y en R3 , a otros espacios vectoriales. S´olo se considerar´an espacios vectoriales
sobre R o sobre C.

8.1

Producto interno

Algunas nociones geom´etricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar.La definici´on que sigue es una generalizaci´on del producto escalar a otros espacios vectoriales.

8.1.1

Definici´
on y ejemplos

Definici´
on 8.1 Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno
sobre V es una funci´on Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple:
i) Para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V
• Φ(v + w, z) = Φ(v, z) + Φ(w, z)
•Φ(α.v, z) = α. Φ(v, z)
ii) Φ(v, w) = Φ(w, v) ∀ v, w ∈ V .
(Notar que esta condici´on implica que para cada v ∈ V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir que
Φ(v, v) ∈ R.)
iii) Φ(v, v) > 0 si v = 0.
Notaci´on. Si Φ es un producto interno, escribiremos Φ(v, w) = v, w .

190

Espacios vectoriales con producto interno

Definici´
on 8.2 A un espacio vectorial real (respectivamente complejo) provisto deun producto interno se lo llama un espacio eucl´ıdeo (respectivamente espacio unitario).
Observaci´
on 8.3 De las condiciones i) y ii) de la definici´on de producto interno se deduce
que si Φ : V × V → R (respectivamente C) es un producto interno, para cada α ∈ R
(respectivamente C), y v, w, z ∈ V vale:
Φ(v, w + z)
Φ(v, α.w)

= Φ(v, w) + Φ(v, z),
= α .Φ(v, w).

Ejemplos. Se puedecomprobar que las funciones Φ definidas a continuaci´on son productos
internos sobre los espacios vectoriales correspondientes:
• Producto interno can´onico en Rn :
Φ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y1 + · · · + xn yn .
• Producto interno can´onico en Cn :
Φ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y 1 + · · · + xn y n .
• Dada B ∈ Cm×n , denotamos por B ∗ ∈ Cn×m a la matriztranspuesta conjugada de B,
es decir, a la matriz definida por (B ∗ )ij = Bji . Se define Φ : Cm×n × Cm×n → C como
Φ(A, B) = tr(A.B ∗ ).
• Si a < b ∈ R y C[a, b] = {f : [a, b] → R / f continua}, se define Φ : C[a, b] × C[a, b] → R
como
b

Φ(f, g) =

f (x)g(x) dx.
a

Dado un espacio vectorial V es posible definir distintos productos internos sobre V . En el
ejemplo siguiente veremos unafamilia de productos internos en R2 .
Ejemplo. Sea Φ : R2 × R2 → R definida por
Φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + α. x2 y2
Hallar todos los valores de α ∈ R para los cuales Φ es un producto interno.
Es inmediato verificar que, para cualquier α ∈ R se cumplen las condiciones i) y ii) de la
definici´on de producto interno. Veamos para qu´e valores de α se cumple la condici´oniii). Se
tiene que
Φ((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) =

x21 − 2x1 x2 + αx22

= x21 − 2x1 x2 + x22 + (α − 1)x22
= (x1 − x2 )2 + (α − 1)x22
De esta igualdad se deduce que Φ(v, v) > 0 ∀ v = 0 ⇐⇒ α > 1.
En consecuencia, Φ es un producto interno si y s´olo si α > 1.

8.1 Producto interno

8.1.2

191

Norma de un vector

La noci´on que sigue generaliza la de longitud de un vector en R2 o R3 .Definici´
on 8.4 Sea (V, , ) un espacio vectorial sobre R (respectivamente C) con producto
1
interno y sea v ∈ V . Se define la norma de v asociada a , (y se nota v ) como v = v, v 2 .
Proposici´
on 8.5 (Propiedades de la norma.) Sea (V, , ) un espacio vectorial con producto
interno.
i) Para cada v ∈ V , v ≥ 0, y v = 0 si y s´
olo si v = 0.
ii) Sean α ∈ R (respectivamente C) y v ∈ V .Entonces α.v = |α|. v .
iii) Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Si v, w ∈ V , entonces
| v, w | ≤ v . w .
iv) Desigualdad triangular. Si v, w ∈ V , entonces
v+w ≤ v + w .
Demostraci´
on. Las propiedades i) e ii) se deducen inmediatamente de la definici´on de norma.
iii) Si w = 0, no hay nada que hacer. Supongamos entonces que w = 0. Se tiene que
0

≤
=
=
=

v, w
v, w
w, v −
w
2
w...