Intergrales Matemáticas

TAULA D’INTEGRALS IMMEDIATES

∫ a ⋅ dx = ax + C
x n+1 ∫ x dx = n + 1 + C
n

(n ≠ −1)

[u ( x)]n+1 + C ∫ [u ( x)] ⋅ u ' ( x) dx =
n

n +1

∫ x dx = ln | x | +C ∫2
1 x dx = x + C

1

∫ u ( x) dx = ln | u ( x) | +C ∫2 ∫a ∫e
u ' ( x) u ( x)
u( x)

u ' ( x)

dx = u ( x) + C

ax ∫ a dx = ln a + C
x

a u( x) ⋅ u ' ( x) dx = +C ln a ⋅ u ' ( x) dx = e u ( x ) + C

∫e

xdx = e x + C

u ( x)

∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ sec
2

∫ sin u( x) ⋅ u ' ( x) dx = − cos u( x) + C ∫ cos u ( x) ⋅ u ' ( x) dx = sin u ( x) + C ∫ sec
2

x dx = tan x + C

u ( x) ⋅ u ' ( x)dx = tan u ( x) + C

∫1+ x

1

2

dx = arctan x + C

∫ 1 + [u ( x)]
∫
u ' ( x)

u ' ( x)

2

dx = arctan u ( x) + C

∫

1 1− x
2

dx = arcsin x +C

1 − [u ( x)]

2

dx = arcsin u ( x) + C

Integración por partes

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Integración por partes: Se descompone el integrando en dos partes, u y dv, y utilizamos la fórmula: udv = uv vdu

Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. xe-xdx == - xe-x (- e-x) dx = - xe-x - e-x + C

x2sen x dx =

= - x2cos x + 2

x cos x dx=

=

= - x2cos x + 2(x sen x -

sen dx) =

= - x2cos x + 2xsen x + 2 cos x + C ex cos x dx = = ex sen x ex sen x dx =

=

= ex sen x -

- ex cos x -

ex(- cos x)dx

=

=ex(sen x + cos x) -

ex cos x dx.

Si llamamos I a la integral original es: I= ex(sen x + cos x) -I. De donde I =ex(sen x + cos x) + C.

ln xdx =

= x ln x -

dx = x ln x - x + C.

http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/matonline/inte-partes.html

24/09/2009

Integración por descomposición en fracciones simples

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Integración por descomposición en fracciones simples. Consideremos integrales de la forma dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Si el grado

deP(x) es mayor que el de Q(x), efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será: dx = C(x) dx + dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x). Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma: Q(x) = (x - a1).(x - a2)...(x - an) Caso 1.- Si las raíces del polinomio, ai, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fraccionessimples: = + + .. +

Determinamos el valor de los Ai efectuando la suma de fracciones: = e identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará: dx = A1ln(x - a1) + A2ln(x - a2) + .. + Anln(x - an)

Ejemplo:

dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador,

efectuamos la división, obteniendo:

Es decir:

=x-1+

. Por tanto:dx =

-x+

dx

y en la segunda integral, el numerador es de grado menor que el denominador.

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24/09/2009

Integración por descomposición en fracciones simples

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Descomponiendo: x3 + x2 - 4x - 4 = = + +

x-2 =

x+2

x + 1 , y,

Identificando los numeradores será: x2 + x - 3= A1 x + 2 x+1 + A2 x - 2 x+1 + A3 x - 2 x+2

Para x = 2, será: 3 = 12A1, para x = - 2, -1 = 4A2, y para x = - 1, -3 = - 3A3.

Del sistema

,

A1 =

, A2 = -

, A3 = 1.

=

+

+

, y la integral será:

dx =

dx +

dx +

dx =

=

ln(x - 2) -

ln(x + 2) + ln(x + 1) + C = ln (x + 1)

+ C.

La integral pedida es:

dx =

- x + ln

(x + 1)

+C

Caso2.- Si el denominador tiene también raíces reales múltiples del tipo (x - b)k, por cada una de ellas añadimos a la suma de fracciones simples del caso anterior las siguientes: + + .. +

obteniendo la integral como suma de logaritmos neperianos y potencias de exponente negativo. Ejemplo: dx.

Descomponemos el denominador, y: x3 + 3x2 - 4 = (x - 1)(x + 2)2. Las fracciones simples serán:...