Interpolación Cuadrática De Lagrange

Introducción.

Al hablar de métodos numéricos nos referimos a diversas técnicas que nos ayudan a entender esquemas numéricos, resolver problemas de ingeniería, problemas numéricos simples con unagran cantidad de datos, derivación e integración de funciones y problemas científicos.

Existen una gran variedad de métodos numéricos y muchos pueden ser aplicados para dar solución a problemas denuestra vida cotidiana, como lo muestra el problema siguiente; el cual fue resuelto por el método de interpolación cuadrática de LaGrange.

Interpolación cuadrática de LaGrange.

Para comprender elmétodo de interpolación de LaGrange es necesario comprender lo que es la interpolación polinomial.

La interpolación polinomial es la base de muchos tipos de integración numérica ytiene otras aplicaciones teóricas. En la práctica a menudo tenemos una tabla de datos {(xi,yi), i = 0,1,2,...,n}, obtenida por muestreo o experimentación. Suponemos que los datos corresponden a losvalores de una función f desconocida (a veces es conocida, pero queremos cambiarla por una función más sencilla de calcular). El “ajuste de curvas” trata el problema de construir una función que aproximemuy bien estos datos (es decir, a f ). Un caso particular de ajuste de curvas es la interpolación polinomial: En este caso se construye un polinomio P(x) que pase por los puntos de la tabla.
Lainterpolación polinomial consiste en estimar f(x∗) con P(x∗) si x∗ no está en la tabla pero se puede ubicar entre estos valores.

Un problema de interpolación polinomial se especifica comosigue: dados n + 1 pares (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn), siendo todos los xi’s distintos, y yi = f(xi) para alguna función f; encontrar un polinomio Pn(x) de grado ≤ n tal que:
Pn(xi)=yi, i=0,1,2,...,nLaGrange calculó el único polinomio interpolante de manera explícita: El polinomio Pn(x) de grado ≤ n que pasa por los n+1 puntos (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn) (con xi ̸=xj para todo i,j) es:

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