Interpolación numérica

TALLER 3

Completar la siguiente tabla

[pic]

Teniendo en cuenta lo anterior:
a) Hallar una aproximación a la población total de inscritos para t=2 por
medio de un polinomio de interpolación de grado 1, 2 y 3 usando
Polinomios de Newton. Analice el error de la interpolación. ¿Cuál es la
mejor aproximación?

Interpolación lineal :
P1(t) = a0 + a1 (t − t0)

Para encontrar el valorde las constantes a0 y a1 se reemplaza el polinomio anterior en t0 y t1:

f (t0) = P1(t) = a0 + a1 (t0 − t0)= a0

f (t1) =P1 (t1) = a0 + a1 (t1 − t0)= f (t0)+ a1 (t1 − t0)

De la expresión anterior se despeja a1:

[pic]

Reescribiendo el polinomio en términos de diferencia dividida:

P1(t)= f[t0]+ f[t0, t1](t- t0)

Se escogen los puntos t0=1 y t1=3 y se reemplazan en el polinomio:P1(t)=94447+[pic](t-1)

P1(t)= 94447+ 446.5(t-1)

P1(2)= 94447+ 446.5(2-1)= 94894

Interpolación cuadrática:

f(t2)=P2(t) = a0 + a1 (t − t0) + a2 (t − t0) (t − t1)

Se despeja del polinomio a2 obteniendo lo siguiente en términos de a0 y a1 o de las diferencias divididas:

[pic]
a2= [pic]

Tomando t2=4

P2(t) = 94447+ 446.5 (t − 1) + [pic](t − 1) (t − 3)
P2(t) = 94447+ 446.5(t − 1) + -6281-446.5 (t − 1) (t − 3)

3

P2(t) = 94447+ 446.5 (t − 1)-2242.5(t − 1) (t − 3)

P2(2) =94447+ 446.5 (2 – 1) - 2242.5(2 − 1) (2 − 3) = 97136

Tomando t3= 5

f(t3)=P3(t) = a0 + a1 (t − t0) + a2 (t − t0) (t − t1) + a3 (t − t0) (t − t1) (t − t2)

P3(t) = 94447+ 446.5 (t − 1)-2242.5(t − 1) (t − 3)+ a3 (t − 1) (t −3) (t − 4)

|i |t |fi|f(..) |f(…) |
|0 |1 |94447 | | |
|1 |2 |  | | |
|2 |3 |95340 |446.5 | |
|3 |4 |89059 |-6281 |-2242.5 |
|4|5 |100648 |11589 |8935 |

100648-89059= 11589
5-4

11589+6281 =8935

5-3

a3= 8935+2242.5= 2794.375
5-1
Reemplazando las constantes en el polinomio se obtiene:

P3(t) = 94447+ 446.5 (t − 1)-2242.5(t − 1) (t − 3)+ 2794.375 (t − 1) (t −3) (t − 4)

P3(2)=94447+ 446.5 (2 − 1)-2242.5(2 − 1) (2 − 3)+2794.375(2 − 1)(2 −3)(2 − 4)

P3(2)= 102725

Error en la interpolación:
EA= I P2(2)- P1(2)I= I 97136-94894 I= 2242
EA= I P3(2)- P2(2)I= I 102725-97136 I= 5589

El error al utilizar el polinomio de grado 3 de Newton es mayor que con el polinomio de grado 2, por lo que con éste último se obtiene la mejor aproximación.

b) Hallar una aproximación a la población total de admitidos para t=4
por mediode un polinomio de interpolación de grado 1, 2 y 3 usando
Polinomios de Lagrange. Analice el error de la interpolación. ¿Cuál es la
mejor aproximación?

P1(t)=a0(t-t1)+ a1(t-t0)

Si t= t0
f(t0)=P1(t0)= a0(t0-t1)+ a1(t0-t0)= a0(t0-t1)
Despejando se obtiene a0 :

a0= f(t0)
(t0-t1)

Si t= t1
De manera igual al caso anterior se obtiene:

f(t1)=P1(t1)= a0(t1-t1)+ a1(t1-t0)=a1(t1-t0)
a1= f(t1)
(t1-t0)

Reemplazando en la primera expresión se tiene:

P1(t)= f(t0) (t-t1) + f(t1) (t-t0)
(t0-t1) (t1-t0)

Reemplazando en el caso dado se tiene:

t0=3 y t1=5

P1(t)=11308(t-5) +10802(t-3) = -5654(t-5)+5401(t-3)
(3-5) (5-3)

P1(4)= -5654(4-5)+5401(4-3)=11055

t2=6P2(t)=a0(t-t1)(t-t2)+a1(t-t0)(t-t2)+a2(t-t0)(t-t1)

Si t= t0
f(t0)= P2(t0)= a0(t0-t1)( t0-t2)
a0= f(t0)
(t0-t1)( t0-t2)

Si t= t1
f(t1)= P2(t1)= a1(t1-t0)( t1-t2)
a1= f(t1)
(t1-t0)( t1-t2)

Si t= t2
f(t2)= P2(t2)= a2(t2-t0)( t2-t1)
a1= f(t2)
(t2-t0)( t2-t1)

Reemplazando en el caso dado se tiene:

P2(t)= 11308(t-5)(t-6) + 10802(t-3)(t-6) +11176(t-3)(t-5)
(3-5)( 3-6)...