Interpolación y ajustes de curvas
Páginas: 8 (1780 palabras)
Publicado: 7 de abril de 2011
INTERPOLACIÓN Y AJUSTES DE CURVAS
En muchos estudios de campo y trabajos experimentales se registran conjunto de pares de datos:
[pic]
Estos datos pueden proceder de procesos “muy confiables” y seguros (por ejemplo provenientes de la discretización de una función determinada) o pueden contener grados considerables de errores o “ruido”.
En todo caso, para estudiar el fenómenocientíficamente y poder establecer estimaciones confiables, se requiere determinar relaciones funcionales que pueden ser: polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etcétera.
INTERPOLACIÓN En el caso de contar con datos muy precisos, la relación funcional se construye mediante técnicas llamadas de interpolación, cuya característica fundamental es que la función obtenida coincide conlos datos objeto de estudio. Esto es, P(ti) = yi donde P es la relación funcional construida.
Se interpola un conjunto de datos o una función con el objeto de estimar el valor de y para algún valor dado de tk que no está registrado en la data original.
[pic]
AJUSTE DE CURVAS. Si los datos que han de procesarse exhiben un grado de errorsignificativo o “ruido”, las técnicas que se aplican para determinar la relación funcional que describe el comportamiento de los datos, se llaman ajuste de curvas o aproximación de los datos por funciones. Estas técnicas se caracterizan por que no necesariamente la función obtenida coincide con los datos procesados, si no que los aproxima minimizando al máximo el error asociado. Es decir f(ti) ≈ yi,donde f es la curva que ajusta a los datos.
[pic]
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Interpolar un conjunto de datos significa determinar una relación funcional que coincida con la data original, de tal manera que a través de esta se pueda estimar confiablemente un valor o valores de la variable dependiente, para un valor o valores de la variableindependiente dentro del rango de los datos, no registrado en los datos originales. Generalmente las relaciones funcionales que se construyen son de tipo polinómicas. En tal caso hablamos de interpolación polinomial.
Teorema (Aproximación de Weierstrass)
Sea f una función continua en [a, b]. Para cada ε>0 existe un polinomio P(x) con la propiedad:
[pic], para toda x en [a, b][pic]
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
|xi |yi |Orden cero |Orden uno |Orden dos |Orden tres |
| | |f[xi] |f[xi, xi+1] |f[xi, xi+1, xi+2]|f[xi, xi+1, xi+2,xi+3] |
|x0 |y0 |f[x0] | | | |
| | | |f[x0, x1] = [pic] | | |
| | ||f[x2, x3] = [pic] | | |
|x3 |y3 |f[x3] | | | |
Para n+1 puntos:
|xi |x0 |x1 |x2 |…|xn |
|yi |y0 |y1 |y2 |… |yn |
la diferencia dividida de mayor orden es de orden n. Está dada por:
[pic]
Generalizando, se tiene que la k-ésima diferencia dividida de Newton involucra k+1 puntos y está dada por:
[pic]
El polinomio interpolante por diferencias divididas de Newton se...
En muchos estudios de campo y trabajos experimentales se registran conjunto de pares de datos:
[pic]
Estos datos pueden proceder de procesos “muy confiables” y seguros (por ejemplo provenientes de la discretización de una función determinada) o pueden contener grados considerables de errores o “ruido”.
En todo caso, para estudiar el fenómenocientíficamente y poder establecer estimaciones confiables, se requiere determinar relaciones funcionales que pueden ser: polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etcétera.
INTERPOLACIÓN En el caso de contar con datos muy precisos, la relación funcional se construye mediante técnicas llamadas de interpolación, cuya característica fundamental es que la función obtenida coincide conlos datos objeto de estudio. Esto es, P(ti) = yi donde P es la relación funcional construida.
Se interpola un conjunto de datos o una función con el objeto de estimar el valor de y para algún valor dado de tk que no está registrado en la data original.
[pic]
AJUSTE DE CURVAS. Si los datos que han de procesarse exhiben un grado de errorsignificativo o “ruido”, las técnicas que se aplican para determinar la relación funcional que describe el comportamiento de los datos, se llaman ajuste de curvas o aproximación de los datos por funciones. Estas técnicas se caracterizan por que no necesariamente la función obtenida coincide con los datos procesados, si no que los aproxima minimizando al máximo el error asociado. Es decir f(ti) ≈ yi,donde f es la curva que ajusta a los datos.
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INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Interpolar un conjunto de datos significa determinar una relación funcional que coincida con la data original, de tal manera que a través de esta se pueda estimar confiablemente un valor o valores de la variable dependiente, para un valor o valores de la variableindependiente dentro del rango de los datos, no registrado en los datos originales. Generalmente las relaciones funcionales que se construyen son de tipo polinómicas. En tal caso hablamos de interpolación polinomial.
Teorema (Aproximación de Weierstrass)
Sea f una función continua en [a, b]. Para cada ε>0 existe un polinomio P(x) con la propiedad:
[pic], para toda x en [a, b][pic]
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
|xi |yi |Orden cero |Orden uno |Orden dos |Orden tres |
| | |f[xi] |f[xi, xi+1] |f[xi, xi+1, xi+2]|f[xi, xi+1, xi+2,xi+3] |
|x0 |y0 |f[x0] | | | |
| | | |f[x0, x1] = [pic] | | |
| | ||f[x2, x3] = [pic] | | |
|x3 |y3 |f[x3] | | | |
Para n+1 puntos:
|xi |x0 |x1 |x2 |…|xn |
|yi |y0 |y1 |y2 |… |yn |
la diferencia dividida de mayor orden es de orden n. Está dada por:
[pic]
Generalizando, se tiene que la k-ésima diferencia dividida de Newton involucra k+1 puntos y está dada por:
[pic]
El polinomio interpolante por diferencias divididas de Newton se...
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