Interpolaci n de Hermite

Universidad Autónoma del Estado de México/Facultad de Ingeniería/División de Materias Propedéuticas/
CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS

INTERPOLACIÓN DE HERMITE
Introducción
Hasta lo estudiado en el tema de interpolación, que contempla desde polinomio interpolación de
Lagrange, Neville y Diferencias divididas de Newton; no se incluía el valor de la primera deriva de
la función “f”, es decir la magnitud dela velocidad (rapidez) con que se mueve una partícula. Sin
embargo, en este tema, nuestro objetivo es encontrar un polinomio de menor grado que coincida
con f y todas sus derivadas de orden menor. Un polinomio que logra esto, es llamado polinomio
osculatorio; ya que generalizan tanto a los polinomios de Taylor como a los polinomios de
Lagrange.
Para iniciar, supongamos que se tienen (n  1)puntos definidos como: x0 , x1 , x2 ,...,xn con
enteros no negativos m0 , m1 , m2 ,...,mn ; el polinomio osculatorio que aproxima una función

f  C m [a, b] , donde m  maxm0 , m1 , m2 ,...,mn  y xi [a, b] para cada i  0,1,2,...,n ; es el
polinomio de menor grado con la propiedad de que coincide con f y todas sus derivadas de
orden menor o igual que m i en xi para cada i  0,1,2,...,n . El gradode este polinomio
osculatorio será de a lo más:
n

M   mi n
i

n

Ya que el número de condiciones que se deben satisfacer es

 m  (n  1) , y el polinomio de
i 0

i

grado M tiene ( M  1) coeficientes que pueden usarse para satisfacer estas condiciones.
Definición
Sean x0 , x1 , x2 ,...,xn con (n  1) puntos en [a, b] , y m i un entero no negativo asociado a xi para

i  0,1,2,...,n . Sea:m  max mi y f  C m [a, b]
0i n

El polinomio osculatorio que aproxima f es el polinomio P de menor grado tal que:

d k P( xi ) d k f ( xi )
para cada i  0,1,2,...,n y k  0,1,2,...,mi

dx k
dx k
Por ejemplo, cuando n  0 , el polinomio osculatorio que aproxima a f es simplemente el

m0  ésimo polinomio de Taylor de f en x0 . Cuando mi  0 para cada i  0,1,2,...,n , el
polinomio osculatorioes el n-ésimo polinomio de Lagrange que interpola a f en x0 , x1 , x2 ,...,xn .
Si mi  1 para cada i  0,1,2,...,n , se obtiene una clase de polinomios llamados polinomios de
Hermite. Para una función dada f , estos polinomios no sólo coinciden con f en x0 , x1 , x2 ,...,xn ,
Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.

Email: gas.ver2009@yahoo.com.mx

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sino que, como sus primeras derivadas coinciden también con las de f , tienen la misma
“apariencia” que la función en  xi , f ( xi )  , en el sentido de que coinciden las rectas tangentes al
polinomio y a la función.

Teorema:
Si f  C 1[a, b] y x0 , x1 , x2 ,..., xn [a, b] son números distintos, el únicopolinomio de menor
grado que coincide con f y f ' en x0 , x1 , x2 ,...,xn es el polinomio de grado a los más, dado por:
n

n

j 0

j 0



H 2 n1 ( x)   f ( x j ) H nj ( x)   f ' ( x j ) H nj ( x)
Donde





H nj ( x)  1  2( x  x j )L'nj ( x j ) L2nj ( x)
Y


H nj ( x)  ( x  x j ) L2nj ( x)
En donde Lnj representa el j-ésimo polinomio de coeficiente de Lagrange de grado n , definido
por:Lnk ( x) 

( x  x0 )( x  x1 )...(x  xk 1 )( x  xk 1 )...(x  xn )
( xk  x0 )( xk  x1 )...(xk  xk 1 )( xk  xk 1 )...(xk  xn )
n

Lnk ( x)  
i 0
ik

( x  xi )
( xk  xi )

con k  0,1,2,...,n

Luego si f  C ( 2 n 2) [a, b] , entonces:

f ( x)  H 2 n1 ( x) 

( x  x0 ) 2 ( x  x1 ) 2 ...(x  xn ) 2 ( 2 n 2)
f
( )
(2n  2)!

Para algún  tal que a    b
Ejemplo
Utilice elpolinomio de menor grado que coincida con los datos mostrados en la tabla de abajo,
con la finalidad de hallar una aproximación a f (3.08) .
k
0
1
2

xk
3
3.1
3.2

f(xk)
f'(xk)
-4.240058 6.649860
-3.496909 8.215853
-2.596792 9.784636

SOLUCIÓN
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