Interpolacion De Lagrange

INTERPOLACION DE LAGRANGE
Ilustración visual del racional detrás del polinomio de LaGrange. Esta figura muestra un caso de segundo orden*

Observe que, como en el caso del método de Newton, laversión de LaGrange tiene un error estimado de R=f'x,xn,xn-1,….xoi=0n(x-xi)
De este modo, si se tiene un punto adicional en x=xn+1, se puede obtener un error estimado. Sin embargo como no se empleanlas diferencias divididas finitas como parte de algoritmo de LaGrange, esto se hace muy ocasionalmente.
Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0,f(x0)), (x1, f(x1)),... (xn, f(xn)), se construye un cociente Li (x) con la propiedad de que
Li(xj)=0 cuando i j y que Li (xi)=1
Teorema
Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyosvalores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado n, con la propiedad de que
f(xi) = P(xi) para cada i = 0, 1, 2, ...n

Este polinomio está dado por
fnx=i=0nlxf(xi)
DondeLix=j=oj≠inx-xjxi-xj
Donde es productoria de la versión lineal (n=1) es

Y la versión, de segundo orden es.

Ejercicio de práctica
use la interpolación de LaGrange de primer orden paraevaluar ln 2 con base en los datos dados en el ejemplo.
xo=1 | fxo=0 |
x1=4 | fx1=1,386294 |
x2=6 | fx2=1,791760 |

Solución del primer orden, para obtener la solución de x=2


De manerasimilar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como

Desventajas del método
No siempre funciona correctamente con cantidades mayores de seis puntos. A medida que crece el grado del polinomiointerpolador, se perciba una creciente variación entre puntos de control consecutivos, lo que produce que la aproximación entre dos puntos continuos sea muy distinta a la que se esperaría. Escomplicado para cálculos manuales.

Otras aplicaciones
Aunque el polinomio interpolador de LaGrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora,...