Interpolacion De Lagrange

Pauta Pregunta 2 Control 1, Cálculo Numérico MA33A Semestre Primavera 2006

i) POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

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El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es unareformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como:
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en donde:
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Por ejemplo, la versión de segundoorden (n = 2) es:


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Con esto, para los puntos: {(1,2), (3,5), (5,3)}


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ii) INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

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El polinomio den-ésimo orden es:
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Se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0, X1, ... , Xn.
Usando estosdatos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:
|b0 = f (X0) |
|b1 = f [X1, X0] |
|b2 = f [X2, X1, X0] |
|...|
|bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0] |


En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.
Por ejemplo, la primeradiferencia dividida finita se representa generalmente como:
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La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresageneralmente como:
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De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:
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Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación, los cuales se sustituyen en laecuación, para obtener el polinomio de interpolación:
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Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.
Para el caso de los puntos {(1,2), (3,5), (5,3)}, setiene el siguiente polinomio de Newton:

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Con lo que:

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Por lo tanto:

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iii) POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN UTILIZANDO MATRIZ DE VANDERMÔNDE

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El polinomio...