Interpolacion De Lagrange
Páginas: 2 (356 palabras)
Publicado: 28 de febrero de 2013
4.4 interpolacion de Lagrange
El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representade manera concisa como
(1)
Donde
(2)donde designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es
(3)
y la versión de segundo grado es(4)
La ecuación (1) se obtiene de manera directa del polinomio de Newton. Sin embargo, el razonamiento detrás de la formulación de Lagrange se comprende directamente al darse cuenta de que cadatérmino Li(x) será 1 en x = xi y 0 en todos los otros puntos. De esta forma, cada producto Li(x) f(xi) toma el valor de f(xi) en el punto xi. En consecuencia, la sumatoria de todos los productos en laecuación (1) es el único polinomio de n-ésimo grado que pasa exactamente a través de todos los n + 1 puntos, que se tienen como datos.
Observe que, como en el método de Newton, la forma deLagrange tiene un error estimado de
De este modo, si se tiene un punto adicional en x = xn+1, se puede obtener un error estimado.
Sin embargo, como no se emplean las diferencias divididas finitas comoparte del algoritmo de Lagrange, esto se hace rara vez.
En resumen, en los casos donde se desconoce el grado del polinomio, el método de
Newton tiene ventajas debido a la comprensión queproporciona respecto al comportamiento de las fórmulas de diferente grado. Además, el estimado del error representado por la ecuación
se agrega usualmente en el cálculo del polinomio de Newton debido aque el estimado emplea una diferencia finita. De esta manera, para cálculos exploratorios, a menudo se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a ejecutar sólo una interpolación, las formulaciones...
El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representade manera concisa como
(1)
Donde
(2)donde designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es
(3)
y la versión de segundo grado es(4)
La ecuación (1) se obtiene de manera directa del polinomio de Newton. Sin embargo, el razonamiento detrás de la formulación de Lagrange se comprende directamente al darse cuenta de que cadatérmino Li(x) será 1 en x = xi y 0 en todos los otros puntos. De esta forma, cada producto Li(x) f(xi) toma el valor de f(xi) en el punto xi. En consecuencia, la sumatoria de todos los productos en laecuación (1) es el único polinomio de n-ésimo grado que pasa exactamente a través de todos los n + 1 puntos, que se tienen como datos.
Observe que, como en el método de Newton, la forma deLagrange tiene un error estimado de
De este modo, si se tiene un punto adicional en x = xn+1, se puede obtener un error estimado.
Sin embargo, como no se emplean las diferencias divididas finitas comoparte del algoritmo de Lagrange, esto se hace rara vez.
En resumen, en los casos donde se desconoce el grado del polinomio, el método de
Newton tiene ventajas debido a la comprensión queproporciona respecto al comportamiento de las fórmulas de diferente grado. Además, el estimado del error representado por la ecuación
se agrega usualmente en el cálculo del polinomio de Newton debido aque el estimado emplea una diferencia finita. De esta manera, para cálculos exploratorios, a menudo se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a ejecutar sólo una interpolación, las formulaciones...
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