Interpolacion lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CULIACAN

INGENIERIA ELECTRONICA

DPTO. INGENIERIA ELECTRICA – ELECTRONICA

Instrumentacion Avanzada

TRABAJO:

Interpolación Lineal

Control en Cascada

M.C. Omar Iván Gaxiola Sánchez

ALUMNOS:

Angulo Camacho Ricardo Gildardo
Siordia Rodríguez José Iván
Resendiz Rodríguez Francisco Javier
Peña Angulo Lauren Enrique
Gutiérrez Leal Alfonso
InfanteMarín Jorge Fernando

Febrero-2011

INTERPOLACIÓN

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en losextremos.
La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
y se pide hallar el valor de un puntox (intermedio de x0 y xn) de esta función.
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn o a la izquierda de xo. Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados. El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios “interpoladores”, pero en el caso de laextrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos.
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INTERPOLACION LINEAL

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.

La formula general de un polinomio de n-esimo orden es:

F(x) = ao + a1x + a2x² +…+ anx

Para n + 1 puntos existe uno y solo unpolinomio de n-esimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay solo una línea recta (es decir, un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos (figura a). De manera similar hay solo una parábola que conecta a tres puntos (figura b). El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-esimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Estepolinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

Aunque existe uno y solo un polinomio de n-esimo orden que se ajusta al los n + 1 puntos, existen una gran variedad de formulas.

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Ejemplos de interpolación polinomial a) primer orden (lineal), conexión de dos puntos; b) conexión de tres puntos, segundo orden (cuadrática o parabólica) y c) conexión de cuatro puntos,tercer orden (cubico).

La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura. Usando triángulos semejantes, se tiene:

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Esquema grafico de la interpolación lineal. Las áreas sombreadas muestran triángulos semejantes usados en la derivación de la formula de interpolación lineal.

Que sepuede reordenar como:

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La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f1(x) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el termino [f(x1)- f(x0)]/(x1 – Xo). Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. Entre más pequeño se el intervaloentre los puntos, más exacta será la aproximación. Esta característica se demuestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO: 1

Interpolación lineal

Calcúlese el logaritmo natural de 2(ln 2) usando interpolación lineal. Primero llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.791 759 5. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo mas pequeño desde ln 1 a ln 4...