interpolacion numerica

Páginas: 13 (3111 palabras) Publicado: 21 de septiembre de 2014
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERPOLACION NUMERICA
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado
Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

1) *Probar que si g interpola a la función f en ‫ݔ‬଴ , ‫ݔ‬ଵ , … , ‫ݔ‬௡ିଵ y h interpola a f en ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ ,
entonces a la función ݃ሺ‫ )ݔ‬൅

௫బ ି௫
௫೙ି௫బ

ሺ݃ሺ‫ )ݔ‬െ ݄ሺ‫ ))ݔ‬interpola a f en ‫ݔ‬଴ , ‫ݔ‬ଵ , … . , ‫ݔ‬௡ିଵ , ‫ݔ‬௡ ሺnotar

que h y g no necesitan ser polinomios).
Sol:
Sea ‫ܨ‬ሺ‫ )ݔ‬ൌ ݃ሺ‫ )ݔ‬൅

௫బ ି௫
௫೔ ି௫బ

ሺ݃ሺ‫ )ݔ‬െ ݄ሺ‫ ))ݔ‬en los nodos ‫ݔ‬௜ , iൌ1,…, n-1 se tiene

݃ሺ‫ݔ‬௜ ) െ ݄ሺ‫ݔ‬௜ ) ൌ ݂ሺ‫ݔ‬௜ ) െ ݂ሺ‫ݔ‬௜ ) ൌ 0, por lo tanto ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬௜ ) ൌ ݃ሺ‫ݔ‬௜ ) ൌ ݂ሺ‫ݔ‬௜ ), ‫ݔ‬௜ ‫ ݅ ׊‬ൌ 1, . . , ݊ െ 1
Con iൌ0

‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬଴ ) ൌ ݃ሺ‫ݔ‬଴ ) ൅

௫బ ି௫బ௫೙ ି௫బ

൫݃ሺ‫ݔ‬଴ ) െ ݄ሺ‫ݔ‬଴ )൯ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬଴ ) ൌ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ).

Con iൌn
௫ ି௫

‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬௡ ) ൌ ݃ሺ‫ݔ‬௡ ) ൅ ௫బ ି௫೙ ൫݃ሺ‫ݔ‬௡ ) െ ݄ሺ‫ݔ‬௡ )൯ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬௡ ) ൅ ሺെ1)൫݃ሺ‫ݔ‬௡ ) െ ݄ሺ‫ݔ‬௡ )൯ ൌ ݄ሺ‫ݔ‬௡ ) ൌ ݂ሺ‫ݔ‬௡ ).








2) Se sabe que ‫ܪ‬ସ ሺ‫ )ݔ‬ൌ 4 ൅ 3ሺ‫ ݔ‬൅ 1) െ 2ሺ‫ ݔ‬൅ 1)ଶ ൅ ሺ‫ ݔ‬൅ 1)ଶ ሺ‫ ݔ‬െ 1) െ ሺ‫ ݔ‬൅ 1)ଶ ሺ‫ ݔ‬െ 1)ଶ


es el polinomio de interpolación de Hermite de cierta función f ,basado en losdatos
݂ሺെ1), ݂ ᇱ ሺെ1), ݂ሺ1), ݂ ᇱ ሺ1)‫ ݂ ݕ‬ᇱᇱ ሺ1).
a) Sin evaluar ‫ܪ‬ସ ሺ‫ )ݔ‬ni sus derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferencias divididas
con repetición utilizada en la construcción de ‫ܪ‬ସ ሺ‫.)ݔ‬
-1

4

-1 ݂ሾെ1ሿ

3

1 ݂ሾ1ሿ

݂ሾെ1,1ሿ

-2

1 ݂ሾ1ሿ

݂ሾ1,1ሿ

݂ሾെ1,1,1ሿ

1 ݂ሾ1ሿ

݂ሾ1,1ሿ

݂ሾ1,1,1ሿ

3/2
݂ሾെ1,1,1,1ሿ

-1/2

b) Sin evaluar ‫ܪ‬ସ ሺ‫ )ݔ‬ni sus derivadas en-1 y 1, determinar los valores de
݂ ᇱ ሺെ1), ݂ሺ1), ݂ ᇱ ሺ1) ‫ ݂ ݕ‬ᇱᇱ ሺ1).
Sol:
a) Hermite es un método de interpolación en que se involucran las derivadas de la función.
Entonces;
Si xൌ-1

݂ሾെ1ሿൌ 4 y como el -1 se repite 1 vez, la diferencia dividida entre estos 2 primeros

datos dará la primera derivada de la función, es decir;
݂ ᇱ ሾെ1ሿ ൌ ݂ሾെ1, െ1ሿ ൌ 3

Ahora se pueden empezar a hacerrelaciones entre los datos que se dan, y las incógnitas.
Por lo tanto;
௙ሾିଵ,ଵሿିଷ
ଵି ିଵ

ൌ െ2

௙ሾଵሿି௙ሾିଵሿ
ଵି ିଵ

௙ሾିଵ,ଵ,ଵሿାଶ
ଵି ିଵ

௙ሾଵ,ଵ,ଵሿିଵ


௙ሾଵ,ଵሿାଵ


௙ሾଵሿିସ

ൌ െ1




ൌ1



ଵି ିଵ




௙ሾିଵ,ଵ,ଵ,ଵሿିଷ/ଶ


݂ሾെ1,1ሿ ൌ െ1

ൌെ

ൌ െ1

݂ሾെ1,1,1ሿ ൌ 1



݂ሾ1ሿ ൌ 2

݂ሾെ1,1,1,1ሿ ൌ 1/2



݂ሾ1,1,1ሿ ൌ 2



݂ሾ1,1ሿ ൌ 1

Entonces al reemplazarlos resultados obtenidos en la tabla, quedara así;
-1

4

1

2

-1

-2

2

1

2

-1

1
1

4

2

3

1

1

3/2

1/2

-1/2

b) Los valores de ݂ ᇱ ሺെ1), ݂ሺ1), ݂ ᇱ ሺ1) ‫ ݂ ݕ‬ᇱᇱ ሺ1), estan dados por;

݂ሾ1ሿ ൌ 2 ൌ ݂ሺ1)

݂ሾെ1, െ1ሿ ൌ 3 ൌ ݂ ᇱ ሺെ1)

݂ሾ1,1ሿ ൌ 1 ൌ ݂ ᇱ ሺ1)

݂ሾ1,1,1ሿ ൌ 2 ൌ ݂ ᇱᇱ ሺ1)

En la tabla los valores pedidos están en los lugares;
-1
-11

1

1

4

݂ሺെ1) ൌ4
݂ሺ1) ൌ2
݂ሺ1) ൌ2

݂ሺ1) ൌ2

3

-1

݂Ԣሺ1) ൌ1

݂Ԣሺ1) ൌ1

-2
1

݂ԢԢሺ1) ൌ2

3/2

1/2

-1/2

3) Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio Pሺx) de grado 2 que satisfaga: pሺ1)ൌ
0, p' ሺ1) ൌ 7, pሺ2) ൌ 10 .

Sol:

Como existe la derivada del polinomio pሺx), quiere decir que el método a utilizar es el de

Hermite ሺen el caso de que nonos dijeran el método a utilizar), entonces la tabla quedaría de la
forma;

X Pሺx)
0

1

0

1

10

2

7

P [1,2]=10

P [1,1,2]=3

P [1,2]= 10/1

P [1, 1,2]= (10-7)/1 = 3

El polinomio de interpolación quedaría expresado de la forma

P(x)=7(x-1)+3(‫ ݔ‬െ 1)ଶ
P(x)=3‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬െ 4

satisface las condiciones de p(1)= 0, p' (1) = 7, p(2) = 10 .

4) Dada una función ݂ ‫ܥ א‬ଷ (‫ )ܴܫ‬y los nodos ‫ݔ‬଴ = ܽ െ ݄ଵ , ‫ݔ‬ଵ = ܽ, ‫ݔ‬ଶ = ܽ + ݄ଶ , con
݄௜ ൐ 0, ݅ = 1,2 y ܽ ‫ ,ܴܫ א‬se pide:

a) Construir el polinomio de interpolación ‫ )ݔ(݌‬de ݂(‫ )ݔ‬con los nodos dados.

b) Utilizando ‫ )ݔ(݌‬obtener la formula

݂ ᇱᇱ (ܽ) ൎ ௛



భ ା௛మ



௙(௔ା௛మ )ି௙(௔)
௛మ



௙(௔)ି௙(௔ି௛భ )
௛భ



c) Calcular la expresión de error de la formula anterior....
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