Interpolacion Numerica

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERPOLACION NUMERICA
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado
Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

1) *Probar que si g interpola a la función f en
)

)

entonces a la función

,

,…,

y h interpola a f en

)) interpola a f en

,

,

,….,

,…,,

,

notar

que h y g no necesitan ser polinomios).
Sol:
)

Sea

)

)

)

)

)

)

)

Con i 0

)) en los nodos
)

0, por lo tanto

)

, i 1,…, n-1 se tiene

)

)

)

),

)

1, . . ,

1

).

Con i n
)

)

)

)

2) Se sabe que

4

3

)

1)

2

)

)

1)

1)

1)

)

1)

)

1)

).

1)

es el polinomio deinterpolación de Hermite de cierta función f ,basado en los datos
1),

1),

a) Sin evaluar

1)

1),

1).

) ni sus derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferencias divididas

con repetición utilizada en la construcción de
-1

).

4

-1

1

3

1

1

1,1

1

1

1,1

1

1

1,1

b) Sin evaluar
1),

1),

-2
1,1,1

3/2

1,1,1

1,1,1,1-1/2

) ni sus derivadas en -1 y 1, determinar los valores de
1)

1).

Sol:
a) Hermite es un método de interpolación en que se involucran las derivadas de la función.
Entonces;
Si x -1

1

4 y como el -1 se repite 1 vez, la diferencia dividida entre estos 2 primeros

datos dará la primera derivada de la función, es decir;
1

1, 1

3

Ahora se pueden empezar a hacer relacionesentre los datos que se dan, y las incógnitas.
Por lo tanto;
,

2

1,1

1

,,
,,,

1,1,1

/

,

1

1,1,1,1

,,

1,1,1

1

1,1

1

1

1
2

1

2

1/2

Entonces al reemplazar los resultados obtenidos en la tabla, quedara así;
-1

4

1

2

-1

-2

2

1

2

-1

1
1

1

4

3

2

1

1

3/2

1/2

-1/2
1),

b) Losvalores de
2

1)

1, 1

1,1

1,1,1

1

3
2

1)

1)

1),

1), estan dados por;

1)
1)

En la tabla los valores pedidos están en los lugares;
-1
-1

4

1)

1

1)

1

1)

1

1)

2

2

2

4

3

-1

1)

1)

1

1

-2
1

1)

2

3/2

1/2

-1/2

3) Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio P x) de grado 2 que satisfaga:p 1)
0, p' 1)

7, p 2)

10 .

Sol:

Como existe la derivada del polinomio p x), quiere decir que el método a utilizar es el de

Hermite en el caso de que no nos dijeran el método a utilizar), entonces la tabla quedaría de la
forma;

X P x)
0

1

0

1

7

10

2

P [1,2]=10

P [1,1,2]=3

P [1,2]= 10/1

P [1, 1,2]= (10-7)/1 = 3

El polinomio de interpolaciónquedaría expresado de la forma

P(x)=7(x-1)+3(
P(x)=3

+

1)

4

satisface las condiciones de p(1)= 0, p' (1) = 7, p(2) = 10 .

4) Dada una función

(

0, = 1,2 y

) y los nodos

=

, se pide:

,

=,

=

+

, con

a) Construir el polinomio de interpolación ( ) de ( ) con los nodos dados.

b) Utilizando ( ) obtener la formula
(

()

)

()

()

(

)c) Calcular la expresión de error de la formula anterior.

Sol:

a) Construimos nuestra tabla:
=

(

=

=

+

()

()

(+

)

()

(

(

(

)

)

)

)
(

()

)

(

Entonces el polinomio de interpolación es;
( )=

(

)+
+

1
+

()

(

(+

)

)

(

()

()

()

+

()

)

(

)

(

)

)

(

+

)(

)

b)Como la intención del los métodos de interpolación es aproximar una función por medio de
)

un polinomio, entonces

),

,

)

Por lo tanto, se puede rescatar que

Entonces;

1,2, … ,

)

)

)

Si , , son constantes.
)

)

)

1

)

)

)

)

El polinomio de interpolación quedaría expresado así;
)

)

Al desarrolla el polinomio se obtiene;
)

)

La...