interpolacion problemas

Problemas de Interpolaci´n, curso 2012-2013
o
Grado en Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias, Universidad de Salamanca
Problema 1. Sean f, g : [a, b] → R dos funciones y {x0 , x1 , . . . , xn }puntos distintos
del intervalo [a, b]. Si P y Q son, respectivamente, los polinomios de interpolaci´n
o
de f y g en los puntos {x0 , x1 , . . . , xn }, entonces:
(1) Dados α, β ∈ R, ¿es α · P + β · Qel polinomio de interpolaci´n de α · f + β · g
o
en los puntos {x0 , x1 , . . . , xn }?
(2) ¿ Es P · Q el polinomio de interpolaci´n de f · g en los puntos {x0 , x1 , . . . , xn }?
o
Problema 2.Sean {x0 , x1 , . . . , xn } ⊂ R con xi = xj si i = j y f (x) = xn+1 .
Calcular el polinomio de interpolaci´n de f en los puntos {x0 , x1 , . . . , xn } utilizando
o
la f´rmula del error ydeterminar el t´rmino independiente de dicho polinomio.
o
e
Problema 3. Sean {x0 , x1 , . . . , xn } ⊂ R puntos distintos y ci = Li (0) , 0 ≤ i ≤ n,
siendo {L0 (x) , L1 (x) , . . . , Ln (x)} lospolinomios b´sicos de Lagrange. Demostrar
a
que:

n
si j = 0
 1,
j
0,
si j = 1, 2, . . . , n
ci x i =

i=0
(−1)n x0 x1 · · · xn , si j = n + 1
y
n

Li (x) = 1, x ∈ R.
i=0

Concluir quesi Pn es el polinomio de interpolaci´n de una funci´n f : [a, b] → R en
o
o
los puntos {x0 , x1 , . . . , xn }, entonces se verifica que:
n

En (x) = f (x) − Pn (x) =

(f (x) − f (xi )) Li (x), x ∈ [a, b] .
i=0

Problema 4. Demostrar que los polinomios b´sicos de interpolaci´n de Lagrange
a
o
pueden ser expresados de la siguiente manera:
Li (x) =

Q(x)
, 0 ≤ i ≤ n,
(x − xi )Q(xi )

donde

n

(x − xi ).

Q(x) =
i=0

1

Problema 5. Sean a > 0, {−xn , . . . , −x1 , 0, x1 , . . . , xn } ⊂ [−a, a] y P2n el polinomio
de interpolaci´n de la funci´n f : [−a, a] → R.Demostrar los siguientes resultados:
o
o
(a) Si f es una funci´n par (resp. impar), tambi´n P2n es una funci´n par (resp.
o
e
o
impar).
(b) Si f es una funci´n par, existe un polinomio de...