Interpolacion

INTERPOLACIÓN
En el sub campo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.
Otro problemaestrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple
INTERPOLACION LINEAL
15 marzo, 2007
La interpolación lineal es un método matemático para aproximar el valor de un punto.
Sean dospuntos (x0,y0) e (x1,y1) la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos es:

Si queremos hallar un valor de y, dado una x que esté entre x0 y x1(x0<x<x1), reorganizamos la anterior y nos queda la ecuación que debemos utilizar:

EJEMPLO 1:
Tenemos los puntos (3,4) y (-2,9) y queremos la recta que pasa por ellos. La formulita para la pendiente "a" era:

a = (y1 - y2) / (x1 - x2)Luego

a = (4 - 9) / (3 - (-2)) = -5 / 5 = -1

Y ahora la ordenada al origen "b":

b = (x1 * y2 - x2 * y1) / (x1 - x2)

Luego:
b = (3 * 9 - (-2) * 4) / (3 - (-2) = 35 / 5 = 7
Luego la recta nos queda:
y = - x + 7
EJEMPLO 2:
Por un recibo de gas en el que se han consumido 10 m3 se han pagado 50 € y por 16 m3 se han pagado71 €. ¿Cuánto habrá que pagar por un consumo de 15 €?.Solución:
Puntos (10, 50) y (16, 71), la fórmula de interpolación lineal queda:
= €
FÓRMULA DE LAGRANGE
Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos sedecide.
En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c)
También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:
y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla.
Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de gradon Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):

Que es la fórmula de Lagrange para n=2.
EJEMPLO 1:
Calcular el polinomio de 2° grado:
Xi | 1 | 3 | 4 |
Fi | 2 | 4 | 8 |

Solución: Buscamos un polinomio el 2° grado que escribimos en la forma:
P2(x) = a0 + a1(x − 1) + a2 (x − 1)(x − 3)
Donde hay que hallar a0, a1 y a2.Sustituimos por los valores de la tabla,
x = 1; P2(1) = a0
x = 3; P2(3) = a0 + a1(3 − 1)
x = 4; P2(4) = a0 + a1(4 − 1) + a2(4 − 1)(4 − 3)
Se obtiene así un sistema triangular fácil de resolver:
2 = a0 → a0 = 2
4 = a0 + 2 a1 → a1 = 1
8 = a0 + 3 a1 + 3 a2 → a2 = 1
Luego el polinomio es P2(x) = 2 + (x − 1) + (x − 1)(x − 3) = x2− 3x + 4
EJEMPLO 2:
En la siguiente tabla se indica el tiempo en días yel peso en gramos de tres embriones embriones en una especie animal:
Tiempo x | 3 | 5 | 8 |
Peso y | 8 | 22 | 73 |

a) Obtener el polinomio de interpolación de los datos de la tabla.
b) Hallar, a partir de dicho polinomio, el peso correspondiente a un embrión de 6,5 días.
Solución: Como en los ejemplos anteriores realizamos la tabla de diferencias

xi 3 58 | Fi 8 22 73 | DD1 22 – 8/5 − 3= 7 73 – 22/8 − 5= 17 | DD2 17 – 7/8 − 3= 2 |
| | | |








P2(x) = 8+7 (x−3)+2 (x−3)(x−5)
Así, sustituyendo por x = 6,5 días
P2(6,5) = 26,75 gramos
POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON
Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de
Newton, que trabaja directamente en...