interpolacion

Tema 3

Interpolaci´n Polinomial
o
Introducci´n
o
En este tema se da una posible respuesta a una situaci´n bastante natural en el ambito
o
´
cient´
ıfico. Investigamos un fen´meno que se est´ desarrollando ante nuestros ojos, queremos
o
a
estudiarlo, y junto con los modelos previos con que contemos, podemos tomar muestras experimentales. Tenemos una serie de datos a partir demediciones sobre el mismo. [Naturalmente
hemos hecho una cantidad finita de mediciones.] Queremos extraer informaci´n de esos datos.
o
Esencialmente podemos tratarlo con
1/ t´cnicas estad´
e
ısticas (que continuar´n observando el fen´meno de un modo discreto,
a
o
es decir, sobre ese conjunto finito de mediciones)
2/ o bien ”intentandorecrear/reconstruir el fen´meno en su totalidad (en un “dominioo
continuo de espacio, tiempo o cualquier otra magnitud), con la funci´n que represente “lo
o
mejor posible” esos datos.
Obs´rvese que no se habla necesariamente de ajuste perfecto a los datos obtenidos (de
e
hecho, es posible que por los aparatos de medici´n y sus usuarios haya errores de medici´n,
o
o
redondeo, truncamiento... que no controlemos siquiera con exactitud la escala detiempo o
cualquier otra magnitud que haya sido usada como variable independiente...)
Las t´cnicas que utilizan funciones continuas y se consideran en este curso son de dos tipos:
e
a) Curvas de ajuste: c´lculo de funciones aproximadas a los datos que tenemos (en alg´n
a
u
sentido, para cierta distancia), e
b) Interpolaci´n: c´lculo de funciones que pasan (”interpolan”es el t´rmino matem´tico)o
a
e
a
exactamente por los puntos se˜alados.
n
´
La opci´n a) ser´ tratada en un contexto lineal en la parte de Algebra (Tema 2), y por
o
a
las cuestiones de errores comentadas antes, ser´, en general, m´s deseable que la segunda
a
a
(de hecho esta v´ se usa tambi´n en estad´
ıa
e
ıstica cuando se calcula la recta de regresi´n, otro
o
modo de hablar de la recta de m´
ınimoscuadrados).
1

´
TEMA 3. INTERPOLACION POLINOMIAL
No obstante, la opci´n b) tambi´n tiene utilidad, como veremos por ejemplo al tratar la
o
e
integraci´n num´rica (Tema 4 de C´lculo), aunque con ciertos matices t´cnicos que preciso
e
a
e
aremos al final del presente tema.
Interpolar una funci´n f : I ⊆ R −→ R en un conjunto abierto D y en un conjunto
o
de n + 1 puntos {x0, x1, . . . ,xn } ⊂ I es encontrar otra funci´n Φ de manera que sobre estos
o
puntos, la nueva funci´n tome los mismos valores que la funci´n original. Es decir, verificando
o
o
Φ(xi ) = f (xi ) = fi ,

i = 1, . . . , n.

En concreto el problema que planteamos es el siguiente. Consideremos una familia de
funciones Φ reales de variable real x que dependa de n + 1 par´metros, a0 , a1 , . . . , an . Laa
describimos de la forma Φ = Φ(x; a0 , . . . , an ).
El problema de interpolar consiste en determinar estos n + 1 par´metros de
a
manera que para los n + 1 pares ordenados (xi , fi ) con i = 0, . . . , n se verifique
Φ = Φ(xi ; a0 , . . . , an ) = fi ,

i = 1, . . . , n.

Existen motivos t´cnicos (fuera del objetivo de este curso), modelado que usamos en el
e
problema, tipo desoluciones que se quieren buscar con un mejor ajuste, desarrollo por ejemplo
en series de Fourier, o econom´ de c´lculo, entre otros, que nos llevan a usar diferentes tipos
ıa
a
de interpolaci´n, dependiendo del tipo de funci´n Φ que queramos utilizar:
o
o
Interpolaci´n polin´mica: Φ es una funci´n polin´mica de x, es decir
o
o
o
o
Φ(x; a0 , . . . , an ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .Interpolaci´n racional: Φ es una funci´n racional (cociente de polinomios) de x, es decir
o
o
Φ(x; a0 , . . . , an , b0 , . . . , bm ) =

a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
.
b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm

Interpolaci´n exponencial: Φ es una combinaci´n lineal de exponenciales reales, es decir
o
o
Φ(x; a0 , . . . , an , b0 , . . . , bn ) = a0 eb0 x + a1 eb1 x + a2 eb2 x + · · · +...