interpolacion

INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de
Newton que evita los cálculos de las diferenciasdivididas. Este se puede representar concretamente
como:
(21)
en donde:

En donde

denota el "producto de".

Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:

y la versión de segundo orden es:al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:

La ecuación (21) se deriva directemente del polinomio de Newton. Sin embargo, la razon fundamentalde la formulación de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(X) será
1 en X=Xi y 0 en todos los demas puntos.
Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor def(Xi) en el punto Xi. Por consiguiente la
sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (21) es el único polinomio de n-ésimo orden
que pasa exactamente por los n+1 puntos.
Ejemplo 3.4Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y segundo orden para evaluar ln 2 en base

a los datos:
i
0
1
2

X
1.0
4.0
6.0

f(X)
0.000 0000
1.386 2944
1.791 7595Solución:
El polinomio de primer orden es:

y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es

de manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:

Como se expresaba, ambos resultados sonsimilares a los que se obtuvieron previamente usando la
interpolación polinomial de Newton.
En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método de Newton tieneventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior.
Ademas la aproximación del error dada por la ecuación (20), en general puede integrarse fácilmente en
loscálculos de Newton ya que la aproximación usa una diferencia dividida. De esta forma, desde el
punto de vista de cálculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a llevar a cabo...