Interpolacion

INTERPOLACIÓN
La interpolación es un proceso por el cual se define un valor en un punto cualquiera a partir de los
valores conocidos en algunos puntos dados. Por ejemplo: tenemos temperatura, presión y vientos en
distintas localidades que cuentan con estaciones
meteorológicas y queremos estimar el clima en un pueblo
31m
cualquiera. Suponiendo que las estaciones son
30m
?
razonablementecercanas, surgen dos preguntas: ¿qué
23m
estaciones considero? y ¿cómo calculo los valores
17m
15m
desconocidos en función de los conocidos?
1m
En la figura se esquematiza un terreno del cual se
conocen las alturas en distintos puntos. Un problema
puede ser el de estimar la altura en un punto cualquiera y
otro, casi equivalente, es definir líneas de igual altura;
digamos, una isocurvacada 10 metros.
En general, tenemos un conjunto finito de nodos o puntos fijos con valores nodales asociados a cada
uno de ellos: {(xi, vi)}, donde xi ={xi, yi[, zi]} es la posición del i-ésimo punto y vi un valor conocido
en ese punto fijo; se pretende encontrar el valor v asociado a un punto de coordenadas x cualquiera.
El proceso de interpolación define el valor asociado al punto variable.Podría, por ejemplo, asignarse el
valor del punto más cercano o una combinación de valores cercanos o de todos los conocidos. En una
sola dimensión es muy sencillo encontrar el punto más cercano o los dos nodos que “encierran” el
punto buscado, pero en más dimensiones resulta más complicado.
La forma estándar, para variables continuas, consiste en hacer una suma de valores ponderados:
v(x) = i(x) vi
(Σ i = 1)
El valor v en el punto variable x se estima asignando a cada punto fijo un peso αi, que depende de la
posición del punto variable. Normalmente se pretende que el peso de cada punto esté en relación
inversa con la distancia al punto variable, de ese modo el valor estará más influenciado por los puntos
más cercanos. Por ejemplo, puede asignarse peso unitario al punto máscercano y cero a todo el resto,
con lo que se toma el valor del punto más cercano; también se puede tomar como peso la inversa de la
distancia (con la suma de inversas como cociente normalizador), pero en ese caso se están teniendo en
cuenta todos los puntos, aún los muy lejanos y sin influencia (además de generar el problema de la
posible división por cero. Lo más natural parece ser encontrar losnodos que pueden tener influencia en
el punto y medir, de alguna forma, esa influencia. Hay muchas formas aceptadas para definir los pesos;
es justamente la selección de pesos la que define el método de interpolación.
No hay una única clasificación de métodos y denominaciones pero debemos mencionar algunas:
a) Métodos Locales versus Globales: Los métodos globales consideran todos los nodos. Unejemplo
es el método de Kriging, muy utilizado en ciencias de la tierra, donde se construyen los pesos en
relación inversa a las distancias, con algunos supuestos de variabilidad. Para los métodos locales,
en cambio, sólo se consideran los nodos cercanos; a los más lejanos se les asigna peso nulo. En
general se utilizan estos últimos métodos pues son algorítmicamente más veloces, sobre todocuando se dispone de un método rápido para encontrar un conjunto de nodos cercanos.
b) Interpolación versus Extrapolación: En la interpolación se asume que el punto, cuyo valor se
busca, esta “entre los nodos”, en caso contrario es extrapolación. Este concepto (“entre”) es
trivial en 1D: el punto está entre el nodo extremo izquierdo y el nodo extremo derecho, pero en
más dimensiones es un pocomás complejo (envoltorio convexo) y en breve lo desarrollaremos.
c) Interpolación versus Aproximación: En la interpolación estricta se pretende que el resultado de la
fórmula que da el valor en un punto variable, sea el valor del nodo cuando el punto es el nodo; en
una aproximación eso no es necesario. Leído a la ligera parece extraño admitir una
aproximación, pero imaginemos un proceso...