interpolacion

Interpolación
En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie
de puntos x1, x2, · · · , xN, pero no se conoce una expresion anal´ıtica de f(x) que
permita calcular el valor de la funci´on para un punto arbitrario. Un ejemplo
claro son las mediciones de laboratorio, donde se mide cada minuto un valor,
pero se requiere el valor en otro punto que no ha sido medido.Otro ejemplo
son mediciones de temperatura en la superficie de la Tierra, que se realizan en
equipos o estaciones meteorol´ogicas y se necesita calcular la temperatura en un
punto cercano, pero distinto al punto de medida.
La idea de la interpolaci´on es poder estimar f(x) para un x arbitrario, a
partir de la construcci´on de una curva o superficie que une los puntos donde se
han realizadolas mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto
arbitrario x se encuentra dentro de los l´ımites de los puntos de medici´on, en caso
contrario se llamar´ıa extrapolaci´on. En este texto se dicute exclusivamente la
interpolaci´on, aunque la idea es similar. PRECAUCI´ON: El uso indiscriminado
de extrapolaci´on no es recomendable, siempre tratar con cuidado.
Existe un sinn´umerode m´etodos de interpolaci´on, incluyendo la interpolaci
´on lineal, polinomial, y la spline, que se discutir´an m´as adelante. Existen otros
m´etodos que no ser´an tenidos en cuenta en este texto, pero se pueden encontrar
en [***************]
En muchos casos el usuario se enfrenta a funciones para las cuales la interpolaci
´on no funciona. Por ejemplo, la funci´on
f(x) = 0,3x2 +
1

ln
( − x)2
+ 1 (4.1)
tiene una singularidad cuando x =  [ver figura 4.1]. Cualquier m´etodo de interpolaci
´on que se base en valores de x = 3,14, 3,14, 3,15, 3,16 muy probablemente
va a generar un resultado erroneo para x = 3,1415 . . . .
En la pr´actica, un proceso de interpolaci´on se realiza en dos etapas:
1. Hacer un fit de los datos disponibles con una funci´on interpolante.
2.Evaluar la funci´on interpolante en el punto de inter´es x.
108 Cap´ıtulo 4. Interpolaci´on
-2
-1
0
1
2
3
2 2.5 3 3.5 4
π
f(x)=0.3x2+1/π ln[(π−x)2]+1
x
f(x)
Figura 4.1: Los m´etodos de interpolaci´on pueden tener problemas interpolando
una funci´on con singularidades-
Este proceso en dos etapas no es necesariamente el m´as eficiente. La mayor´ıa
de algoritmos comienzan con un puntocercano f(xi), y poco a poco van aplicando
correciones m´as peque˜nas a medida que la informaci´on de valores f(xi)
m´as distantes es incorporada. El procedimiento toma aproximadamente O(N2)
operaciones. Si la funci´on tiene un comportamiento suave, la ´ultima correci´on
ser´a la m´as peque˜na y puede ser utilizada para estimar un l´ımite a rango de
error.
La interpolaci´on local, usando unn´umero finito de vecinos pr´oximos (nearest
neighbours) genera valores interpolados f(x) que, en general, no tienen continuidad
es su primera o siguientes derivadas. Esto se debe a que, cuando el
valor interpolado en x cruza uno de los puntos disponibles xi, el procedimiento
de interpolaci´on cambia el grupo de vecinos pr´oximos, lo cual puede generar
una discontinuidad en la funci´on deinterpolaci´on en ese punto, lo cual no es
necesariamente lo que el usuario quiere.
El n´umero de puntos (menos 1) usado en el esquema de interpolaci´on se le
conoce como el orden de la interpolaci´on. Aumentar el orden de la interpolaci
´on no necesariamente aumenta su precisi´on, especialmente en la interpolaci´on
polinomial. Al adicionar el n´umero de puntos vecinos al punto de inter´es x, elpolinomio de mayor orden tiende a hacer que la funci´on interpolante oscile excesivamente
entre los puntos xi. Esa oscilaci´on puede no tener nada que ver con
la funci´on verdadera.
A menos que el usuario tenga evidencia s´olida que la funci´on interpolante sea
similar a la funci´on verdadera f, se recomienda ser cuidadoso con interpolaci´on
de un orden muy alto. Interpolaci´on con 3 -...