interpolacion

Tema 3
Interpolaci´
on spline
´Indice
1. Introducci´on
2. Interpolaci´on con splines de grado uno
3. Interpolaci´on con splines cuadr´aticos
4. Interpolaci´on con splines c´
ubicos de clase dos
5. Interpolaci´on con splines c´
ubicos de clase uno
6. Propiedades extremales de los splines c´
ubicos
7. Estudio del error

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Introducci´
on

Muy frecuentemente se dispone deuna gran cantidad de datos relativos a
una funci´on, conocida o no, que se desea aproximar. Las t´ecnicas de interpolaci´on polin´omica dan lugar en general a interpolantes que presentan grandes
oscilaciones.
La interpolaci´on spline desempe˜
na un papel fundamental en el tratamiento
de este tipo de problemas. En lo que sigue, nos centraremos principalmente
en la interpolaci´on spline c´ubica, aunque trataremos primero brevemente la
lineal y la cuadr´atica.
La interpolaci´on con polinomios de grado bajo no produce grandes oscilaciones; basta pensar en las gr´aficas de las rectas, las par´abolas o las c´
ubicas,
por citar los de grado m´as bajo, que son los de mayor inter´es en la construcci´on de las funciones spline polin´omicas.
La idea de este tipo de funciones es hacerposible la construcci´on de
espacios de funciones suficientemente suaves f´acilmente manejables.

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Interpolaci´
on con splines de grado uno

Un ejemplo sencillo es el de una funci´on cuya gr´afica la forman rectas a
trozos, es decir segmentos, sobre una partici´on
a = x1 < x2 < · · · < xn = b
del intervalo [a, b], de tal manera que el extremo final de un segmento coincide
con elprincipio del siguiente. La gr´afica que resulta es lo que conocemos como
una poligonal.
Obs´ervese que se trata de una funci´on continua en el intervalo total [a, b],
y que al restringirla al intervalo [xi , xi+1 ], 1 ≤ i ≤ n − 1, es un polinomio de
grado menor o igual que uno.
Este espacio vectorial es el de las funciones spline de grado uno y nodos
x1 , ..., xn , y se nota por S1 (x1 , . . . , xn) .

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Tambi´en se observa de inmediato que si en los nodos x1 , . . ., xn se conocen los valores y1 , . . ., yn que toma cierta funci´on y se desea construir una
poligonal, del tipo anterior, que pasa por ellos, el problema tiene soluci´on
y es u
´nica: su gr´afica la forman los segmentos que unen los puntos resultantes: el punto (x1 , y1 ) con el punto (x2 , y2 ), el (x2 , y2 ) con (x3, y3 ), etc., y
su expresi´on anal´ıtica, si (x), en el subintervalo [xi , xi+1 ), 1 ≤ i ≤ n − 1, es
si (x) = yi +

yi+1 − yi
(x − xi ) , x ∈ [xi , xi+1 )
xi+1 − xi

(el u
´ltimo subintervalo se considera cerrado por la derecha, es decir, [xn−1 , b]).
Por tanto, el problema consistente en interpolar datos lagrangianos referidos a los nodos x1 , . . ., xn en el espacio es unisolvente.Este hecho tambi´en nos indica que la dimensi´on de dicho espacio es n.
Una base del espacio S1 (x1 , . . . , xn ) la constituyen las n poligonales que
valen, respectivamente, 1 en un nodo y 0 en los n − 1 nodos restantes.

Figure 1: Gr´afica de la funci´on de de la base de S1 (x1 , . . . , xn ) correspondiente al nodo xi .
Otra base se puede definir a partir de potencias truncadas. Lafunci´on
potencia truncada de grado m en el punto c se nota por (x − c)m
+ y se define
por
(x − c)m
+ =

0
(x − c)m

si x < c
si x ≥ c

La base de S1 (x1 , . . . , xn ) mediante potencias truncadas es
1, x, (x − x2 )+ , (x − x3 )+ , . . . , (x − xn−1 )+ .

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Figure 2: Gr´aficas en [−3, 6] de las potencias truncadas de grados m = 1, 2
correspondientes a c = 2.

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Interpolaci´
oncon splines cuadr´
aticos

Los splines cuadr´aticos con nodos x1 , . . ., xn est´an constituidos por par´abolas
a trozos, unidas entre s´ı no s´olo con continuidad sino tambi´en con tangente
continua, de tal forma que son funciones de clase uno en el intervalo [a, b].
El espacio vectorial correspondiente se nota por S2 (x1 , . . . , xn ) .
Es evidente que si se desea calcular una...