Interpolacion4 2015 2

UNIVERSIDAD

de

´ N
CONCEPCIO

´
FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS y MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MATEMATICA
(DIM)

´
´
´
´
Analisis
Numerico
I, Metodos
Numericos
(Bioingenier´ıa (525240),

Ing. Ambiental (525370)

0

(2 semestre de 2015, Prof. Manuel Campos)

Idea:

´ esta´ basado en la idea de obtener una
El concepto de interpolacion

´ p, que aproxime una funcion
´ desconocida f dela cual conocemos su
funcion
´ en un numero
valor solo
finito de puntos distintos x0 , x1 , . . . , xn . Intuitivamente
´
para que p este´ cerca de f , es natural pedirle que coincida con f en los puntos

´ polinomial
Interpolacion

x0 , x 1 , . . . , x n .

Forma de Lagrange
´ del error
Estimacion
´ con splines cubicas.
Interpolacion
´

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´
DIM – Universidad de Concepcion

-1-

´Polinomial
Interpolacion
Sean (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), n + 1 puntos en el plano, tales que
xi = xj si i = j . Diremos que el polinomio p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,
interpola al conjunto de datos, si p es tal que:

p(xi ) = yi ,

i = 0, . . . , n.

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´
DIM – Universidad de Concepcion

-2-

Teorema.
Dados n + 1 puntos (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) tales que xi = xj, i = j ,
entonces existe un unico
´
polinomio p, de grado menor o igual a n, tal que

p(xi ) = yi ,

i = 0, . . . , n.

´
(condiciones de interpolacion)

Estas n + 1 condiciones sobre p permiten encontrar los n + 1 coeficientes

´
Demostracion.

´ del sistema de ecuaciones:
a0 , . . . , an de p como la solucion


a + a1 x0 + a2 x20 + · · · + an xn0 = y0 ,


 0

El determinante de la matrizasociada al sistema de ecuaciones que resuelve el
´ esta´ dado por
problema de interpolacion

(xi − xj ),

..

.



 a + a x + a x2 + · · · + a xn = y .
0
1 n
2 n
n n
n

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DIM – Universidad de Concepcion

0≤j
que es evidentemente distinto de cero.

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´
DIM – Universidad de Concepcion

Polinomios de Lagrange
´ p, sin tener que resolver un
Una manerade calcular el polinomio de interpolacion
´ de los polinomios de Lagrange ℓi , con
sistema de ecuaciones, es a traves

El conjunto {ℓ0 , ℓ1 , . . . , ℓn } es una base del espacio de polinomios de grado

∈ R tales

i = 0, . . . , n asociados a los puntos x0 , . . . , xn . Estos polinomios de grado n

menor o igual a n. Gracias a esto existen escalares α0 , α1 , . . . , αn

´ definidos por
estan

´ pse puede escribir de la siguiente manera:
que el polinomio de interpolacion
n

x − xj
x i − xj

ℓi (x) :=
j=0
j=i

,

Debido a las propiedades de los polinomios de Lagrange es inmediato ver que

αo = y0 , α1 = y1 , . . . , αn = yn , es decir

´ :
Notar que ellos satisfacen la relacion

p(x) = y0 ℓ0 (x) + y1 ℓ1 (x) + · · · + yn ℓn (x) .


 1,
ℓi (xj ) =
 0,

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Sea f

p(x) = α0 ℓ0(x) + α1 ℓ1 (x) + · · · + αn ℓn (x) .

i = 0, . . . , n.

si i

= j,

si i

= j,

i, j = 0, . . . , n.

´
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´ tal que yi = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n. Una
: R → R una funcion

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´
DIM – Universidad de Concepcion

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´ Interpolacion
´ lineal (n
Aplicacion:

= 1).

´ f es a traves
´ del polinomio de interpolacion,
´
manera de aproximar la funcionrespecto a x0 , . . . ,

xn , el que en este caso esta´ dado por

Supongamos que x0

n

pn (x) =

f (xi )ℓi (x), n = 0, 1, . . .

entonces

p(x) = f (x0 )

i=0

Teorema.
´ real n + 1 veces
Sean x0 , . . . , xn numeros
reales distintos y f una funcion
´
continuamente diferenciable en el intervalo I = (a, b), donde
a = min{x0 , . . . , xn } y b = max{x0 , . . . , xn }. Entonces, para cada
x ∈ [a, b],existe ξx ∈ I tal que
n

f (xi )ℓi (x) =

E(x) := f (x) −
i=0

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(x − x1 )
(x − x0 )
+ f (x1 )
.
(x0 − x1 )
(x1 − x0 )

Luego:

E(x) = f (x) − p(x) = (x − x0 )(x − x1 )
y como (x − x0 )(x − x1 )

(x − x0 ) · · · (x − xn ) (n+1)
f
(ξx ).
(n + 1)!

´
DIM – Universidad de Concepcion

≤ x ≤ x1 , es decir [a, b] = [x0 , x1 ]. Sea h := x1 − x0 ,

≤

x0 < ξ x < x 1 ,

h2
∀x ∈ [x0 ,...

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