Interpolación cúbica natural

INTERPOLACION POR SPLINES CUBICOS NATURALES

Desarrollo: Antonio Jacanamejoy Jamioy.

GENERALIDADES
La función jk_splineCub hace referencia a una interpolación de datos con splines cúbicosnaturales, primero se ha de entender que el uso de splines implica una función definida a trozos mediante polinomios diferenciables.

Los splines cúbicos naturales hacen uso de polinomios de tercergrado donde la derivada segunda respectiva al primer y último punto se asume como cero.

CONDICIONES PARA CADA SPLINE CUBICO
Para los polinomios de cada segmento se plantean una serie de condicionespara obtener una interpolación aceptable:

1. El valor inicial y final del rango coincide con los puntos dados, ello se ilustra en las ecuaciones (1) y (2).
2. El dominio del polinomio es de 0 a 1,de tal suerte que:


Donde es una función polinómica de tercer grado para el punto i-ésimo.
3. La segunda derivada del primer y último punto debe ser cero.
4. Las derivadas primera y segundade cada polinomio coinciden en el punto común de cada par de segmentos.

PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES BASICAS
Las ecuaciones que se presentan son desarrolladas para el caso específico deinterpolación de la función jk_splineCub.

Condición 1.
Dado un conjunto de n valores que se hallan en el vector Y, se plantea que para cada punto i-ésimo excepto el último (i=n) existe una función polinómicade tercer grado que corresponde al segmento comprendido entre los puntos i e i+1:





Ahora se plantean las derivadas primera y segunda en el punto i-ésimo ():




Condición 2.
Parafacilitar la solución de las ecuaciones se asume que el dominio para cada segmento de polinomio es de 0 a 1, por tanto , de tal forma que si se representa matricialmente el conjunto de ecuaciones (1-4) setiene la ecuación (5).



De la solución en (5) para se aprecia que:



Si se evalúa (3 y 4) para se tiene que:



Utilizando la equivalencia dada en (6) en (7) para dejar todo en...