INTERPOLACIÓN POLINOMICA
1.1. ¿Qué es una Interpolación?
Dado un conjunto de datos conocidos buscamos una función que satisfaga:
es la función interpolante o interpolador.
El interpolador puede ser:
Polinomio
“Spline”
Fracción Continuada
Tomar en cuenta:
Las derivadas del interpolador en los puntos dados es fija.
Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador .
1.2.Aplicaciones
Trazado de curvas a través de un conjunto discreto de datos.
Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera fácil una función matemática.
Reemplazar una función complicada por una simple.
1.3. Interpolación y Aproximación
Funciones utilizadas como interpoladores:
PolinomiosFunciones Trigonométricas
Funciones Exponenciales
Funciones Racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta ().
Interpolación presenta problemas cuando los datos están sujetos a errores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta útil “suavizarlos” por medio de una aproximación de mínimos cuadrados.
Tomar en Cuenta:
Aproximaciones espectrales oaproximación con polinomios de Chebyshev representan de manera efectiva soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales.
1.4. Teoría
Teorema 1 (Aproximación de Weierstrass)
Sea continua. Para todo , existe un polinomio sobre tal que para todo ,
Teorema 2 (Existencia y Unicidad del Polinomio Interpolante)
Si son números reales distintos, entonces para valoresarbitrarios existe un único polinomio de grado tal que:
Observaciones:
El teorema (2) generaliza:
“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y sólo una línea recta (polinomio de grado 1)”
Dada una tabla de datos:
existe uno y sólo un polinomio de grado tal que .
Aunque el polinomio es único, existen diversas formas de expresarlo y diferentesalgoritmos para determinarlo.
1.5. Polinomio Interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos con los valores correspondientes .
Construimos una función que pase por por medio de la aproximación:
: es el polinomio interpolante.
: son polinomios a priori y forman una base.
: son coeficientes por determinar.
expresar a como una combinación lineal de funciones de base .2. Interpolación de Vandermonde
Consideramos como bases los monomios:
Para la base obtenemos la representación:
Donde son constantes a determinar.
Las ecuaciones que surgen al evaluar en se pueden expresar matricialmente como:
es la matriz de Vandermonde y .
Ejemplo:
Determinar el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos .
Solución:
i. Elpolinomio está dado por:
ii. Para este caso el sistema está dado por:
iii. La solución está dada por y
3. Interpolación de Newton
Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos el siguiente cambio de base:
Ahora es aproximada por:
Las ecuaciones que surgen al evaluar se pueden expresar matricialmente como:
3.1. Fórmula de diferenciasdividas
La matriz del sistema anterior es triangular inferior.
O operaciones necesarias para resolver el sistema.
Las soluciones viene dadas por:
La función puede determinarse de manera recursiva.
Consideremos el conjunto de puntos:
Adicionalmente se tiene:
: Polinomio de interpolación en
: Polinomio de interpolación en
: Polinomio de interpolación enObservaciones que:
… (7)
Ambos polinomios tienen grado k.
Ambos polinomios interpolan los mismos puntos .
Los polinomios de interpolación están dados por:
Al sustituirlos en (7)
Obtenemos:
Comparando los coeficientes de mayor potencia :
Obtenemos la fórmula de diferencias dividas:
… (8)
El polinomio de interpolación está dado por:...
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