Interpolación

La interpolación
Trabajo de seminario
EUITI UPV-EHU

Autores:
Gonzalez Cortes, Ivan Jimenez Castañeda, Julian Andres Landeta Herresanchez, Iñigo Pastor Moya, Daniel Felipe

INDICE:
-Introducción........................................................................................Pag.3 -Interpolaciónlineal.............................................................................Pag.4 -Interpolación polinómica....................................................................Pag.6 -Interpolación cuadrática..........................................Pag.8 -Matriz de Vandermonde………………………….Pag.9 -Interpolación De Lagrange....................................Pag.10 -Método de diferencias de Newton..........................Pag.12 -Bibliografía……………………………………………..…………..Pag.14

2INTRODUCCIÓN:
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Existen en todas las ramasde la ciencia, en la Física, en la matemática, en la Química, ken la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir laexistencia de otros valores con la aproximación adecuada. Un problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, no obtendremos los mismos valores evaluando lafunción obtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique :

f(xk) = yk , k = 1,...,n
a la que se denomina función interpolante de dichospuntos. Esta función debe construirse de modo que se cumplan las condiciones de interpolación prefijadas en un conjunto de puntos del dominio de la función f(x), que se denominan nodos de interpolación. Hay varias métodos de interpolación, entre ellos están: Interpolación lineal, polinomica, y dentro de la polinomica se encuentran los métodos de Lagrange, de las diferencias divididas de Newton, deHermite...

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INTERPOLACIÓN LINEAL:
La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, Es igual que hacer integralescerradas. En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de lafunción verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla, veamos como se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.

Por la tabla sabemos que:

y1 = f(x1)
y

y2 = f(x2)
Queremos, pues, saber:

y = f(x)
Siendo:

x1 < x < x2

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La...