Interpretación Geométrica De La Derivada

9.9.1. Interpretación Geométrica De La Derivada |
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación. Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).   |
fig. 9.5.Sea P unpunto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando lasposiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q sonrespectivamente: ,  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por  viene dada por:   |
fig. 9.6.En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es larecta cuya pendiente  viene dada por: De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es:  (Punto – Pendiente) En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra lainterpretación geométrica de la derivada.  |

8. Determine las ecuaciones de la recta tangente  y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación: , en el punto P (3, 1).  ||

Solución |
Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.)  
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fig. 1.La pendiente de , viene dada por: Pero, Asi que, Usando ahora la forma: punto– pendiente de la ecuación de la recta, se tiene entonces para : , es la ecuación de la recta tangente.  
Ahora, como , se deduce que .  
Usando nuevamente la forma: punto – pendiente de la ecuaciónde la recta, se tiene para :  es la ecuación de la recta normal. |
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9.  Encontrar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación , que es paralela a la recta de ecuación: x+12y-6=0...