Interpretacion economica del dual

Interpretacion economica del dual

La primera interpretación económica de los problemas lineales duales fue formulada por el
economista y matemático L. Kantorovich en 1939, antes incluso de queDantzig formulara el primer algoritmo para la resolución de tales problemas.
Consideremos el Problema: Primal :
Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sujeto a: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn £ b1
a21x1 +a22x2 + ... + a2nxn £ b2
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn £ bm
x1³0, x2³0, ..., xn³0
Supongamos que es un problema de producción donde:
bi (i=1,2,...,m): denota la disponibilidad del recurso i-ésimocj (j=1,2,...,n): denota el margen de beneficio unitario del producto j-ésimo
aij: denota la cantidad del recurso i-ésimo necesaria para obtener una unidad del producto jésimo
xj: denota el nivelde producción del producto j-ésimo
Como consecuencia:
cjxj: denota el beneficio total por las xj unidades del producto j-ésimo
Por tanto, la función objetivo es el margen de beneficio total yqueremos determinar los niveles
de producción que la maximizan.
aijxj: denota lo que se necesita del recurso i-ésimo para producir la cantidad xj del producto jésimo
Por tanto, la restricción k-ésima setraduce en que la cantidad del recurso k-ésimo que se
necesita para elaborar todos los productos ha de ser menor o igual que la disponibilidad del recurso késimo.
Observemos ahora las restriccionesduales:
ajiyj: denota lo que vale al cantidad de recurso j-ésimo que se necesita para producir una unidad
de producto i-ésimo
Por tanto, la restricción i-ésima del dual se interpreta como que elvalor total de los recursos
necesarios para producir una unidad del producto i-ésimo es mayor o igual que el beneficio por unidad
del producto i-ésimo.
Resumiendo, podemos considerar el ProblemaDual como el de determinar un sistema de
precios marginales no negativos de forma que se minimice el precio total de los recursos disponibles y tal
que el coste imputado a cada unidad de producto sea...