Interrogacion intro al calculo

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Facultad de Matem´ticas
a
Departamento de Matem´tica
a

MAT 1492 ∗ Una soluci´n de la Interrogaci´n N◦ 2
o
o
1.

a) [4 puntos]
Encuentre lainversa de la funci´n f , biyectiva en todo
o

2
si
 −(x + 1) − 1





2
f (x) =
si
x − [x] + [x]





 x
e −1
si

R, definida por
x ≤ −1
−1 0 −→ y > −1 y despejandox se tiene
|x + 1| =
Pero x < 0 −→

√

y + 1 ←→ x =

y+1−1

y + 1 − 1 < 0 ←→ y < 0

O sea : si −1 < y < 0 ←→ x =

√

y + 1 − 1 = f −1 (y).

Si x ≥ 0 entonces y = f (x) = ex − 1 y ex≥ 1 y por lo tanto y + 1 ≥ 1 ←→ y ≥ 0
despejando x se tiene x = ln(y + 1) = f −1 (y)

Finalmente la inversa de f es la funci´n
o

√
 −1 − −y − 1 si y ≤ −1



 √


y+1−1
si −1 < y< 0
−1
f (y) =



 ln(y + 1)
si y ≥ 0




b) [2 puntos]
Diga cu´ntas soluciones tiene la ecuaci´n x2 = 2 ln(x + 2) en el intervalo [−1, 2]. Jusa
o
tifique.
Soluci´n:
o
Sigraficamos las funciones Y 1 = x2 y Y 2 = 2ln(x + 2) se tiene

4

3

y

2

1

–4

–2

0

2

4

6

x
–1

–2

–3

–4

Por lo que el n´mero de soluciones de la ecuaci´n x2 =2ln(x + 2) es 2 , en [−1, 2] ya
u
o
que las funciones se intersectan en a ≈ −0,71 y b ≈ 1,60 y ambos valores pertenecen al
intervalo dado.
2. La poblaci´n de un cultivo de bacterias est´ determinadapor la funci´n P (t) =
o
a
o
donde t se mide en horas.

100000
,
100 + 900e−t

a) Use la calculadora para graficar esta funci´n y estime en cu´ntas horas la poblaci´n es
o
a
o
de almenos 900 bacterias.

El gr´fico de P (t) es
a

900

100
t_0

Observe que P (t0 ) = 900 , donde t0 ≈ 4,4 , por lo que si t ≥ 4, 4 , la poblaci´n es de al
o
menos 900 bacterias.

b) Pruebeque esta funci´n es inyectiva y encuentre P −1 (t)
o

Sean t1 y t2 reales y suponga que P (t1 ) = P (t2 ), entonces
100000
100000
=
−t1
100 + 900e
100 + 900e−t2
De donde se tiene 100 +...