Interseccion De Curvas Polares

INTERSECCION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Las intersecciones de dos curvas dadas en coordenadas polares se determina resolviendo las ecuación r y θ
Ejemplo: Hallar los puntos de la intersecciónde las curvas
r=a(1+2cosθ), r=acosθ
Solución:
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
r=a(1+2cosθ)r=acosθ
a1+2cosθ=acosθ
cosθ=-1 θ=π
Sustituyendo el valor encualquiera de las ecuaciones se tiene r=-a, luego el punto de intersecciones es (-a,π) ( si r=0, ambas ecuaciones tienen solución).
Observación : consideremos la ecuación de una curva en coordenadaspolares.
r=⨍(θ) …(1)
La misma curva está dada por (-1)n r=⨍(θ+nπ), n∈z ….(2)
En efecto:
n=0, r=⨍(θ)
n=1, r=⨍(θ+2π), p(-r,θ+π)p(-r,θ+2π)
n=2, r=⨍(θ+2π) p(r,θ+2π)
por lo tanto (1) y (2) son equivalentes.
Luego para hallar los puntos de intersección de lascurvas r=⨍(θ) y r=g(θ)se sigue los siguientes pasos:
1) Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las curvas aplicando (2) en cada una de ellasr=⨍1(θ)r=g1(θ)r=⨍2(θ)r=g2(θ)r=⨍3(θ)r=g4(θ) …(3)
2) Se resuelven las ecuaciones simultáneas.
r=⨍(θ)r=g(θ)r=⨍2(θ)r=g2(θ)
3) Se verifica si el polo es el punto de intersección haciendo r=0 en cada ecuación para determinarsi existen solución para θ(no necesariamente la misma).

DERIVADAS EN RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES
Consideremos la ecuación de una curva dada por :
C:r=f(θ)…(1)
Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por:
x=rcosθ , y=rsinθ
Luego al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curvalo escribiremos en la forma:
C:x=f(θ)cosθy=f(θ)sinθ
Que son las ecuaciones paramétricas respecto al parámetro θ
Ahora calculemos la derivada de la ecuación paramétrica...