Interseccion Inversa POTHENOT

XIV Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica
Santander, España – 5-7 junio de 2002

LA INTERSECCIÓN INVERSA: MÉTODO
GEOMÉTRICO, TOPOGRÁFICO Y
CARTOGRÁFICO
Jacinto Santamaría Peña
Universidad de La Rioja, España
Área de Expresión Gráfica en la Ingeniería
jacinto.santamaria@dim.unirioja.es

RESUMEN

El método planimétrico denominado “Intersección Inversa”, cuya solución geométrica se
basa enel conocimiento de la Ley de igualdad de ángulos inscritos en arcos iguales, ha sido
estudiado y utilizado por distintos autores a lo largo de la Historia. Las soluciones gráficas
y/o trigonométricas dadas por ellos, tienen desde el aspecto didáctico un valor fundamental.
Además, es interesante destacar la evolución de su aplicación en observaciones
astronómicas y geodésicas hasta nuestros días.En este artículo, además de hacer en breve recorrido histórico del método, se pondrá
especial hincapié en relacionar cada solución gráfica con su correspondiente solución
trigonométrica, para terminar aportando la solución topográfica dada en cada caso.
En definitiva, se va a presentar en este artículo un método básicamente geométrico,
ciertamente cada vez más olvidado y en pocas ocasionesutilizado, pero con una riqueza
didáctica incuestionable.

Palabras clave: intersección inversa: geometría; métodos topográficos.

1.- INTRODUCCIÓN
El Método Planimétrico de Intersección Inversa consiste en la determinación de la
posición planimétrica de puntos, mediante observaciones angulares hechas desde éstos y
dirigidas a otros puntos de coordenadas conocidas (vértices geodésicos, generalmente).Es necesario realizar al menos tres visuales a puntos de posición conocida.
La obtención de las coordenadas X e Y que definan la posición planimétrica de los
puntos, puede hacerse por métodos gráficos o por métodos analíticos. Los primeros se
basan en conceptos puramente geométricos y los segundos en conceptos matemáticos
(trigonométricos). A la vez, a los métodos analíticos y/o gráficos se lespuede dar una
orientación o resolución topográfica, como veremos.
El caso más general, es el que
se observa en la Figura 1. Se
tienen tres puntos A, B, C, de
posición
planimétrica
conocida y se pretende
calcular la posición de un
punto P, estacionando en él
con un Teodolito y midiendo
exclusivamente los ángulos α
yβ .
Fig. 1

El problema planteado es comúnmente denominado Problema de Pothenot,aunque
también se le conoce como Problema del Vértice de la Pirámide, Problema de los Tres
Vértices, Trisección Inversa o simplemente Intersección Inversa. La solución
geométrica de la Intersección Inversa, basada en el conocimiento de la Ley de
igualdad de los ángulos inscritos en arcos iguales, la dio ya hace más de 2.000 años
Euclides. Después fue utilizada en observaciones astronómicas porHiparco y
Ptolomeo. Pero su aplicación geodésica no se hizo hasta bien entrado el siglo XVII.
El primero en resolver el Problema de la Intersección Inversa, tanto geométricamente
como por cálculo trigonométrico, fue el holandés Willebord Snellius, en su obra
"Eratosthenes batavus", publicada en 1.624. Este mismo problema fue tratado en
1.671 por John Collins en su obra "Transactions philosophiques".Laurent Pothenot,
que trabajaba en la definición del meridiano al Norte de París, presentó un trabajo
sobre el tema en 1.692. Pero según opinión de W. Jordan en su Libro "Tratado
General de Topografía", Pothenot no aportó nada nuevo a la solución del problema y
lo único que hizo es publicar con su nombre los trabajos de Snellius y Collins. Otros
autores han estudiado esta materia, entre los quedesatacan: Lambert (1765), Cagnoli
(1786), Bessel (1813), Gauss (1823) y Gerling (1840). A pesar de todo, el problema
de la Intersección Inversa sigue conociéndose popularmente como Problema de
Pothenot.

2.- SOLUCION GEOMÉTRICA DE LA INTERSECIÓN INVERSA
El caso más sencillo es el planteado en la figura 1, en el que se pretende determinar la
posición de un punto P, estacionando en él y midiendo...