intervalo de confianza

Estimación por intervalos de confianza.

I.E.S. A Xunqueira I

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ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
Conceptos
En este tema vamos a estudiar como estimar, es decir pronosticar, un parámetro de
la población, generalmente la media, la varianza (en consecuencia la desviación típica)
y la proporción, a partir de una muestra de tamaño n. Pero a diferencia de la estimación
puntualdonde tal estimación la efectuábamos dando un valor concreto, en esta ocasión
el planteamiento es otro. Lo que haremos es dar un intervalo donde afirmaremos o
pronosticaremos que en su interior se encontrará el parámetro a estimar, con una
probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la mayor posible, es
decir próxima a 1.
Para ello vamos a establecer la notación autilizar:
Parámetro
Media
Varianza
Desviación típica
Cuasivarianza

En la muestra
X
2
Sn

En la población
µ
σ2

Sn

σ

2
S n−1

σn-1

Es importante el uso de la calculadora para hallar estos valores en la muestra.
Hemos dicho que vamos a proponer un intervalo donde se encontrará el parámetro
a estimar, con una probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad larepresentaremos por 1-α, y la llamaremos nivel de confianza. A mayor valor de 1- α,
más probabilidad de acierto en nuestra estimación, por tanto eso implica que α tendrá
que ser pequeño, próximo a 0.
Recordemos que 1- α representa siempre una probabilidad por lo que será un valor
entre 0 y 1, si bien en la mayoría de los enunciados de los problemas suele ser
enunciado en términos de tanto porciento. Así cuando, por ejemplo, se dice que el nivel
de confianza es del 90%, significa que 1- α vale 0,9 y por tanto α vale 0,1.
Para interpretar bien estos conceptos veamos un ejemplo:
Supongamos que deseamos estimar la media de la estatura de una población
mediante un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza, con una muestra de
tamaño 50. Supongamos que tras los cálculosnecesarios, el intervalo en cuestión es
(a,b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamaño 50 y cada
vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronóstico
en 95 de las 100 veces que realizaríamos la estimación con cada muestra.
Un dato importante como es de esperar, es el tamaño de la muestra, que
representaremos por n.
Es evidente que, aigual nivel de confianza, cuanto mayor tamaño tenga la
muestra, el intervalo de confianza se reducirá puesto que el valor obtenido en la muestra
se acercará más al valor real de la población y por tanto el margen de error cometido
(radio del intervalo) se hará más pequeño.
Si el tamaño de la muestra permanece constante y variamos 1- α. el tamaño del
intervalo se hará más grande cuanto másaumente 1- α, es decir que el margen de error
se hará más grande cuanto más precisión exijamos.
Por ejemplo, si para dar un intervalo de confianza de la media de la estatura de una
población de adultos de un país, es seguro que acertaría al cien por cien si el intervalo
que diese fuese (150 cm, 190 cm), pero sería una estimación absurda ya que no sabría
Métodos Estadísticos y numéricos

Prof:José M. Ramos Glez.

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apreciar realmente la media. Por tanto se trata de dar un intervalo lo más reducido
posible.

Cálculo de intervalos de confianza. Método del pivote
El cálculo de intervalos de confianza no es un proceso fácil cuando la variable en
estudio no sigue unas pautas de normalidad, por lo que nosotrosvamos a suponer
siempre que la variable con la que vamos a trabajar sigue una distribución normal.
Dicho esto, el proceso para obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde
intervenga el parámetro a estimar y el correspondiente de la muestra. A esta variable se
le llama estadístico pivote y debe seguir una distribución de probabilidad conocida. Por
ejemplo para el cálculo de un...