Intervalo de confianza

Sánchez Egas Diana

Intervalo de confianza

Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación del valor μ.
En estadística, se llama a un par o varios pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que secalcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es unparámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.1
El nivel de confianza y laamplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error.
Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro aestimar, θ.2 Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshev.
En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la funciónde distribución de probabilidad de θ.
Intervalo de confianza para la media de una población[editar]
De una población de media  y desviación típica  se pueden tomar muestras de  elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:3 
Pero además, si el tamaño de las muestras es losuficientemente grande,4 la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que: 
En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, estoes, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).
Se desea obtener una expresión tal que 
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (), con una confianzadeterminada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará  (debido a que  es el error que se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto  —o, mejor dicho, su versión estandarizada  o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en lasiguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar  para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral  ± el producto del valor crítico  por el error estándar .
Si no se conoce  y n es grande (habitualmentese toma n ≥ 30):5
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor  para los niveles de confianza estándar son 1,96 para  y 2,576 para .6
Intervalo de confianza para una proporción[editar]
El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida como una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

En la...