Intervalos de Confianza para la diferencia de medias
Páginas: 7 (1581 palabras)
Publicado: 8 de diciembre de 2014
Intervalos de Confianza
para la diferencia de medias
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Sean x11 , x12 , ... x1n1 , una muestra aleatoria de n1
observaciones tomadas de una primera población con valor esperado
μ1 , y varianza σ 21
de
n2
;y
x 21 , x 22 , ... x 2n 2 , una muestra aleatoria
observaciones tomada de la segunda población con valor
esperadoμ2
y varianza
muestrales, la estadística
σ 2 2 . Si
x1
x1 − x 2
y
x2
son las medias
es un estimador puntual de
μ1 − μ 2 , y tiene una distribución normal si las dos poblaciones son
normales, o aproximadamente normal si cumple con las condiciones del
teorema del limite central (tamaños de muestras relativamente grandes).
Por lo tanto,
z=
x 1 − x 2 − ( μ1 −μ 2 )
σ 12
n1
+
σ 22
n2
Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias
se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o
desconocidas, y en caso de que sean desconocidas, se debe probar si
son iguales o diferentes. Cada uno de estos tres casos se analizarán por
separado
Varianzas conocidas pero diferentes,
σ1 ≠ σ 2
Si las varianzaspoblacionales son conocidas y diferentes, los pasos a
seguir para encontrar el intervalo de confianza son los siguientes:
a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de
medias
μ1 − μ 2 , será T = x 1 − x 2 , que es un estimador suficiente
b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable
normal estándar dada por:
z=
x 1 − x 2 − ( μ1 − μ 2 )
σ12
n1
+
σ 22
n2
c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta el
nivel de confianza que se quiere considerar.
Teorema. Si
x1 − x 2
son las medias de dos muestras aleatorias
independientes de tamaño
n1 y n2
tomadas de poblaciones que
2
2
tienen varianzas conocidas σ 1 y σ 2 , respectivamente, entonces el
intervalo de confianza para
x1 −x 2 − Z
σ 12
n1
+
σ 22
n2
μ1 − μ 2 es:
≤ μ1 − μ 2 ≤ x 1 − x 2 + Z
σ 12
n1
+
σ 22
n2
Ejemplo. Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia
real entre las duraciones de dos marcas de focos, si una muestra de 40
focos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de
418 horas, y una muestra de 50 focos de otra marca dieron una duraciónmedia de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos
poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente.
Tenemos que: x 1 = 418 , x 1 = 402 ,
Solución.
σ 1 = 26, σ 2 = 22, n1 = 40, n 2 = 50, Z = 1.88
El intervalo de confianza es, entonces:
x1 − x 2 − Z
σ 12
( 418 − 402 ) − 1 . 88
n1
+
26 2
40
σ 22
n2
+
≤ μ1 − μ 2 ≤ x 1 − x 2 + Z
22 2
50
≤ μ 1 −μ 2 ≤ ( 418 − 402 ) + 1 . 88
6 .3 ≤ μ 1 − μ 2 ≤ 25 .7
σ 12
n1
26 2
40
+
+
σ 22
n2
22 2
50
2
2
2
(
σ
=
σ
=
σ
)
Varianzas desconocidas e iguales
1
2
Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente
una prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes.
Para hacerlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea medianteel cálculo de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos
poblaciones con varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de
confianza para la relación de dos varianzas, según se estudiará más
adelante. Como se desconocen las varianzas de la población, se usan
las varianzas de las muestras como estimadores.
El procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo deconfianza para
la diferencia de dos medias será el siguiente:
a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de
medias
μ1 − μ 2 será x 1 − x 2 , que es un estimador suficiente.
b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable
definida como (se usa t en caso de muestras pequeñas):
t=
x 1 − x 2 − ( μ1 − μ 2 )
sp
donde
1
1
+
n1 n2
s p es un...
para la diferencia de medias
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Sean x11 , x12 , ... x1n1 , una muestra aleatoria de n1
observaciones tomadas de una primera población con valor esperado
μ1 , y varianza σ 21
de
n2
;y
x 21 , x 22 , ... x 2n 2 , una muestra aleatoria
observaciones tomada de la segunda población con valor
esperadoμ2
y varianza
muestrales, la estadística
σ 2 2 . Si
x1
x1 − x 2
y
x2
son las medias
es un estimador puntual de
μ1 − μ 2 , y tiene una distribución normal si las dos poblaciones son
normales, o aproximadamente normal si cumple con las condiciones del
teorema del limite central (tamaños de muestras relativamente grandes).
Por lo tanto,
z=
x 1 − x 2 − ( μ1 −μ 2 )
σ 12
n1
+
σ 22
n2
Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias
se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o
desconocidas, y en caso de que sean desconocidas, se debe probar si
son iguales o diferentes. Cada uno de estos tres casos se analizarán por
separado
Varianzas conocidas pero diferentes,
σ1 ≠ σ 2
Si las varianzaspoblacionales son conocidas y diferentes, los pasos a
seguir para encontrar el intervalo de confianza son los siguientes:
a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de
medias
μ1 − μ 2 , será T = x 1 − x 2 , que es un estimador suficiente
b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable
normal estándar dada por:
z=
x 1 − x 2 − ( μ1 − μ 2 )
σ12
n1
+
σ 22
n2
c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta el
nivel de confianza que se quiere considerar.
Teorema. Si
x1 − x 2
son las medias de dos muestras aleatorias
independientes de tamaño
n1 y n2
tomadas de poblaciones que
2
2
tienen varianzas conocidas σ 1 y σ 2 , respectivamente, entonces el
intervalo de confianza para
x1 −x 2 − Z
σ 12
n1
+
σ 22
n2
μ1 − μ 2 es:
≤ μ1 − μ 2 ≤ x 1 − x 2 + Z
σ 12
n1
+
σ 22
n2
Ejemplo. Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia
real entre las duraciones de dos marcas de focos, si una muestra de 40
focos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de
418 horas, y una muestra de 50 focos de otra marca dieron una duraciónmedia de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos
poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente.
Tenemos que: x 1 = 418 , x 1 = 402 ,
Solución.
σ 1 = 26, σ 2 = 22, n1 = 40, n 2 = 50, Z = 1.88
El intervalo de confianza es, entonces:
x1 − x 2 − Z
σ 12
( 418 − 402 ) − 1 . 88
n1
+
26 2
40
σ 22
n2
+
≤ μ1 − μ 2 ≤ x 1 − x 2 + Z
22 2
50
≤ μ 1 −μ 2 ≤ ( 418 − 402 ) + 1 . 88
6 .3 ≤ μ 1 − μ 2 ≤ 25 .7
σ 12
n1
26 2
40
+
+
σ 22
n2
22 2
50
2
2
2
(
σ
=
σ
=
σ
)
Varianzas desconocidas e iguales
1
2
Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente
una prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes.
Para hacerlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea medianteel cálculo de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos
poblaciones con varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de
confianza para la relación de dos varianzas, según se estudiará más
adelante. Como se desconocen las varianzas de la población, se usan
las varianzas de las muestras como estimadores.
El procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo deconfianza para
la diferencia de dos medias será el siguiente:
a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de
medias
μ1 − μ 2 será x 1 − x 2 , que es un estimador suficiente.
b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable
definida como (se usa t en caso de muestras pequeñas):
t=
x 1 − x 2 − ( μ1 − μ 2 )
sp
donde
1
1
+
n1 n2
s p es un...
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