INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA MUESTRA

1-INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA MUESTRA:
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina “nivel de confianza”, yse denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama “nivel de significancia” y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%
Sabemos que para cualquier distribución, por el Teorema Central del Límite, si tiene un tamaño de muestra grande, se puede aproximar o se distribuye como una Normalde parámetros:

Siendo s la cuasi desviación típica muestral. En consecuencia:

Y procediendo de forma análoga a la anterior llegamos a que el intervalo de confianza que buscamos es:




Ejemplo:


2-DIFERENCIA DE MUESTRA
De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puededemostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:2
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:
.
Esto se representa como sigue:
.
Si estandarizamos, sesigue que:

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)•100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).
Se desea obtener una expresión tal que
En esta distribuciónnormal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará 1 − α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 —o, mejordicho, su versión estandarizada Zα / 2 o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:
z − α / 2 = − zα / 2
Así:

Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el producto del valor crítico Zα / 2 por el error estándar .
Si no se conoce σ y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):4
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor zα / 2 para los niveles de confianza estándar son 1,96 para1 − α = 95% y 2,576 para 1 − α = 99%.5
3- UNA PROPORCION DE MUESTRA:
Proporción:
La proporción de un dato estadístico es el número de veces que se presenta ese dato respecto al total de datos. Se conoce también como frecuencia relativa y es uno de los parámetros de cálculo más sencillo. Tiene la ventaja de que puede calcularse para variables cualitativas.
Por ejemplo, si se estudia el colorde ojos de un grupo de 20 personas, donde 7 de ellas los tienen azules, la proporción de individuos con ojos azules es del 35% (= 7/20).
El dato con mayor proporción se conoce como moda (obsérvese, más arriba).
En inferencia estadística existen intervalos de confianza para la estimación de este parámetro.
Estimación de una proporción:
Los datos que tenemos que incluir en la fórmula para...