Intervalos de confianza

Intervalos de Confianza

Introducción
Para introducir la noción de una estimación por intervalo, supóngase que una tienda mantiene muy buenos registros con respecto al numero de unidades de cierto producto que vende mensualmente. Para la compañía es muy importante conocer la demanda promedio ya que con base en esta se lleva a cabo el mantenimiento el mantenimiento del inventario. Supóngase quela demanda del producto no se ve afectada por fluctuaciones en la temporada.
La compañía decide que los últimos 36 meses han sido típicos con respecto a la demanda de este producto, y con base en estos datos muéstrales el valor calculado de la media maestral es =200 unidades. En otras palabras esto es un estimado puntual de un parámetro desconocido, el cual representa la demanda promedio de esteproducto en la tienda. Este estimado ¿ implica que la demanda media desconocida no sea mayor de 250 ni menor de 150? En este punto no es posible saberlo, ya que no tiene ninguna indicación del posible error en el estimado puntual. El error en el estimado puntual se mide en términos de la variación maestral del correspondiente estimador.

Por ejemplo, supóngase que la desviación estándar de lamedia maestral es 60 unidades. De acuerdo con el teorema central del limite, puede argumentarse que , conforme n se aproxima a infinito. De esta forma, la probabilidad de que se encuentre dentro de dos desviaciones estándar alrededor de [pic] , es de, aproximadamente 0.95. En otras palabras, para n grande.
[pic]
O
[pic]
Restando la media y multiplicando por -1 enel interior de los paréntesis, se tiene
[pic]
Si se sustituye el estimado para [pic], se tiene:
[pic]
Lo que sugiere que es enteramente posible que la demanda sea tan grande como 250 unidades o tan pequeña como 150 unidades. Por otro lado supóngase que la desviación estándar de X testada es igual a 10. entonces, la expresión correspondiente es:
[pic]
Y para X testada = 200 es
[pic]
En estecaso es poco probable que [pic]sea tan grande como 250 o tan pequeño como 150.
En ambos casos la clave se encuentra en la desviación estándar del estimador puntual. En esencia, para la estimación del intervalo se consideran, tanto el estimador puntual del parámetro [pic], como su distribución de muestreo, con el propósito de determinar un intervalo que, con cierta seguridad contiene a [pic].Para tener una mayor idea acerca de la estimación por intervalo, es necesario interpretar el significado de
[pic] y [pic]
Dado que X testada es una variable aleatoria, el intervalo X testada – 120 a X testada +120 es un intervalo aleatorio, y la probabilidad de que este intervalo contenga el valor verdadero de [pic] es de 0.95. En otras palabras, si se obtuviesen muestras del mismotamaño en forma repetida de una población, y cada vez que estas se seleccionan, se calculan los valores específicos para el intervalo aleatorio [pic], entonces debe esperarse que un 95% de estos intervalos contengan el valor de la media desconocida [pic].
Por otro lado , el intervalo especifico entre 80 y 320 no es mas que una realización del intervalo aleatorio [pic] con base en los datos de unasola muestra, en la que el estimado es x testada = 200. Dado que el valor de probabilidad de 0.95 se refiere solo al intervalo aleatorio [pic], es incorrecto decir que la probabilidad de que [pic]se encuentre contenido en el intervalo( 80, 320 ) es de 0.95. Esto es,no puede asociarse ningún valor de probabilidad a la proposición 80 < [pic] < 320, debido a que esta contiene solo constantes. Sinembargo, la probabilidad de 0.95 para el intervalo aleatorio sugiere que la confianza en que el intervalo ( 80, 320 ) contenga el valor de la media desconocida [pic] es alta. Solo en este sentido se permite asignar un grado de confianza a la proposición 80 < [pic]< 320 igual a la probabilidad del intervalo aleatorio [pic], asi cuando se escribe
[pic]
No se esta formulando ninguna proposición...