INTERVALOS DE CONFIANZA

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Versión Actualizada al: 22 de julio de 2004

CAPÍTULO IX
Intervalos de confianza
En el capítulo anterior estudiamos los estimadores. Vimos que los estimadores son
una determinada funciónde los resultados que se obtienen en un experimento, y que
nos sirven para estimar el valor de algún determinado parámetro. Estudiamos
asimismo cómo evaluarlos para saber si eran "buenos" o "malos".
Sin embargo, el hecho de saber que un estimador es "bueno" o "malo" no nos da
una idea numérica de cuánto es el error que podemos estar cometiendo al usar el
estimador para estimar el parámetro.Dicho de otra forma, no nos da una idea
concreta de cuánta (en términos numéricos) confianza le podemos tener.
Para solucionar este problema, hará su aparición en escena otra herramienta: el
intervalo de confianza. El mismo es un intervalo entre dos números, tal que hay una
determinada probabilidad de que el verdadero valor del parámetro (desconocido)
pertenezca al intervalo.
En rigor,deberíamos decir que el intervalo tiene una determinada probabilidad de
contener al verdadero valor del parámetro. Esto es así porque en realidad el valor
del parámetro, aunque es desconocido, existe y es una constante. Lo que son
variables aleatorias son los límites del intervalo. Por eso en rigor es más correcto
decir que es el intervalo el que tiene una determinada probabilidad de contener alverdadero valor, y no que es el verdadero valor el que tiene una determinada
probabilidad de estar contenido en el intervalo.
De todos modos, más allá de la discusión filosófica, la probabilidad de la que
estamos hablando se denomina nivel de confianza (NC).
Por ejemplo, dada una población normal cuyo parámetro µ desconocemos, nos
pueden pedir que indiquemos el intervalo de confianza del 95% paraestimarla. Esto
significa que debemos dar dos números L 1 y L 2 tales que haya un 95% de
probabilidad de que el verdadero valor de µ se encuentre entre ellos. Es decir, que
haya un 95% de probababilidad de que el intervalo que determinemos contenga al
verdadero valor de µ . Dicho de otro modo, debemos encontrar los límites tal que
haya un nivel del 95% de confianza de que el intervalo quedeterminemos contenga
al verdadero valor de µ .

Cuanto mayor sea el nivel de confianza que se pida, mayor será la longitud del
intervalo que se construya, para poder garantizar la probabilidad pedida de que el
verdadero valor esté contenido dentro del intervalo dado.
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor será la longitud del intervalo de
confianza, porque los estimadores queusemos se parecerán más a los parámetros
que desconocemos.
En general, nos interesa obtener intervalos lo más pequeños posibles, para tener una
idea más precisa del valor del parámetro que desconocemos.

Intervalo de confianza para la media de
una población
Población Desvío poblacional conocido
(usamos σ )
normal
z ασ

L1;2 = X ±

1−

n
z

no normal

L1;2 = X ±

2

1−

αDesvío poblacional desconocido
(usamos S, el desvío muestral)

t
L1;2 = X ±

σ

2

n

debemos pedir n ≥ 30

L1;2 = X ±

α
1− ;n −1
2

S

n
z αS
1−

2

n

debemos pedir n ≥ 50

donde:
• X es el promedio muestral.
• n es el tamaño de la muestra.
• σ es el desvío poblacional.
• S es el desvío muestral (calculado a partir de la muestra).
• α = 1 - NC. Es decir, sinos piden 95% de confianza, α = 1 - 0,95 = 0,05.

z

1−

α

2
•
es un fractil de la distribución normal estándar tal como lo estudiamos
en el capítulo 6.

t

α
1− ;n −1
2

•
es un fractil de la distribución t-Student tal como lo estudiamos en
el capítulo 7.
Los fractiles z y t se obtienen de las correspondientes tablas.

Explicación y justificación
Comenzaremos por...