intervalos de confianza

Intervalos de confianza
Mall´en Arenas
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de Chile

Mall´
en Arenas (Dpto. Matem´
aticas)

Intervalos de confianza

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Definici´on
Intervalos de confianza para la media
Intervalos de confianza para la media con varianza conocida,
muestras grandes
Poblaci´on finita, varianza conocidaPoblaci´on Normal, varianza desconocida
Intervalos de confianza para diferencias de medias (µ1 − µ2 )
Varianzas conocidas
Varianzas desconocidas iguales
Varianzas desconocidas diferentes
Intervalos de confianza para muestras pareadas
Intervalos de confianza para la varianza
Intervalos de confianza para σ 2
Intervalo de confianza para σ12 /σ22
Intervalos de confianza para proporciones
Intervalosde confianza para una proporci´
on
Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones

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Definici´
on

Definiciones b´
asicas

La estimaci´on del valor de un par´ametro, obtenida al sustituir las
observaciones de la muestra en el estimador, no tiene que ser,
necesariamente, el verdadero valor quetiene dicho par´ametro. Por esta
raz´
on se construyen intervalos de confianza en donde el par´ametro que se
estima est´a contenido con cierta probabilidad, esta probabilidad recibe el
nombre de coeficiente de confianza.
Un intervalo de confianza es un intervalo que tiene a lo menos un extremo
aleatorio.

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3 / 29Definici´
on

Definici´on (Intervalo de confianza)
Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on X, cuya
distribuci´on de probabilidad es f (x, θ). Sea θ1 = T1 (X1 , X2 , . . . , Xn ) y
θ2 = T2 (X1 , X2 , . . . , Xn ) dos estad´ısticos tales que θ1 < θ2 , para los
cuales se cumple:
P (θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = γ = 1 − α
donde γ no depende de θ; entonces el intervalo aleatorio (θ1 , θ2 ).Se llama
el intervalo del 100γ% ´o 100(1 − α)% de confianza para θ.

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Definici´
on

θ1 , se llama el l´ımite inferior de confianza para θ.
θ2 , se llama el l´ımite superior de confianza para θ.
γ = 1 − α, se llama el nivel (o coeficientes) de confianza.
La elecci´on del nivel de confianza depende delinvestigador y los valores
m´as utilizados son:
γ = 0.90; γ = 0.95; γ = 0.975; γ = 0, 98; γ = 0.99.

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Definici´
on

Obtener un intervalo de confianza para un par´ametro θ consiste en:
i)

Elegir una probabilidad γ cercana a 1 ´
o α cercana a cero.

ii) Hallar dos estad´ısticos θ1 y θ2 de θ tal que
P (θ1 ≤ θ ≤ θ2 )= γ = 1 − α.

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Intervalos de confianza para la media con varianza conocida,
Intervalos de confianza para la media muestras grandes

Intervalos de confianza para la media con varianza
conocida, muestras grandes

Sea X una poblaci´on con media µ desconocida y varianza σ 2 conocida.
Un intervalo de confianzapara µ es, encontrar dos estad´ısticos θ1 y θ2 tal
que para un nivel de confianza γ conocido se tenga:
P (θ1 ≤ µ ≤ θ2 ) = γ = 1 − α.

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Intervalos de confianza para la media con varianza conocida,
Intervalos de confianza para la media muestras grandes

Para ello:
I. Elegimos el nivel de confianza γ = 1 − α.
II.Tomamos X1 , X2 , ..., Xn una muestra aleatoria de tama˜
no n de X, y
calculamos la media muestral X.
III. Sabemos que X es adecuada para estimar µ, por lo tanto podemos
usar la distribuci´on muestral de X para establecer un intervalo de
confianza para µ.
IV. Para n suficientemente grande por el teorema central del l´ımite se
tiene que
X ∼ N(µ, σ 2 /n),
si X es una poblaci´
on normal,...