Intervalos Para Proporciones
Páginas: 3 (650 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2012
Intervalo para una proporción
Sean .X1,X2…Xn Ber(p) Si queremos estimar el parámetro p, la manera más natural de hacerlo consiste en definir la suma de estas --lo que nos proporcionauna distribución Binomial
y tomar como estimador suyo la v.a.
Es decir, tomamos como estimación de p la proporción de éxitos obtenidos en las n pruebas
La distribución del número de éxitos es binomial, ypuede ser aproximada a la normal cuando el tamaño de la muestra n es grande, y p no es una cantidad muy cercana a cero o uno:
El estimador no es más que un cambio de escala de X, por tanto
Estaexpresión presenta dificultades para el cálculo, siendo más cómodo sustituirla por la siguiente aproximación:
Para encontrar el intervalo de confianza al nivel de significación para p se considerael intervalo que hace que la distribución de deje la probabilidad fuera del mismo. Es decir, se considera el intervalo cuyos extremos son los cuantiles y . Así se puede afirmar con una confianzade que:
Esto se resume en la siguiente expresión:
con una confianza de
Figura: Intervalo de confianza para una proporción. |
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Ejemplo
Se quiere estimar el resultado de un referéndummediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n=100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra (suponemos que no hay indecisos parasimplificar el problema a una variable dicotómica). Con un nivel de significación del 5%, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.
Solución: Dada una personacualquiera (i) de la población, el resultado de su voto es una variable dicotómica:
El parámetro a estimar en un intervalo de confianza con es p, y tenemos sobre una muestra de tamaño n=100, la siguienteestimación puntual de p:
Sabemos que
En la práctica el error que se comete no es muy grande si tomamos algo más simple como
Así el intervalo de confianza buscado lo calculamos como...
Sean .X1,X2…Xn Ber(p) Si queremos estimar el parámetro p, la manera más natural de hacerlo consiste en definir la suma de estas --lo que nos proporcionauna distribución Binomial
y tomar como estimador suyo la v.a.
Es decir, tomamos como estimación de p la proporción de éxitos obtenidos en las n pruebas
La distribución del número de éxitos es binomial, ypuede ser aproximada a la normal cuando el tamaño de la muestra n es grande, y p no es una cantidad muy cercana a cero o uno:
El estimador no es más que un cambio de escala de X, por tanto
Estaexpresión presenta dificultades para el cálculo, siendo más cómodo sustituirla por la siguiente aproximación:
Para encontrar el intervalo de confianza al nivel de significación para p se considerael intervalo que hace que la distribución de deje la probabilidad fuera del mismo. Es decir, se considera el intervalo cuyos extremos son los cuantiles y . Así se puede afirmar con una confianzade que:
Esto se resume en la siguiente expresión:
con una confianza de
Figura: Intervalo de confianza para una proporción. |
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Ejemplo
Se quiere estimar el resultado de un referéndummediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n=100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra (suponemos que no hay indecisos parasimplificar el problema a una variable dicotómica). Con un nivel de significación del 5%, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.
Solución: Dada una personacualquiera (i) de la población, el resultado de su voto es una variable dicotómica:
El parámetro a estimar en un intervalo de confianza con es p, y tenemos sobre una muestra de tamaño n=100, la siguienteestimación puntual de p:
Sabemos que
En la práctica el error que se comete no es muy grande si tomamos algo más simple como
Así el intervalo de confianza buscado lo calculamos como...
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