intervalos
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Publicado: 10 de mayo de 2013
Intervalo
Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es unsubconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Caracterización
El intervalo real es la parte de que verifica la siguiente propiedad:
Si e pertenecen a con , entonces para todo tal que , se tieneque pertenece a
Notación
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalo abierto
No incluye los extremos.
o bien
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
Intervalo cerrado
Sí incluye los extremos.
Que se indica: Notación conjuntista o en términos de desigualdades
Intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
Con la notacion o bien indicamos.
En notación conjuntista:
Y con la notación o bien ,
En notación conjuntista:
Intervalo infinito
Incluye un extremos e infinito por la derecha.
Con la notacion indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:Y con la notación ,
Incluye un extremos e infinito por la izquierda.
Con la notacion indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:
Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Para todo valor real:
Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
Esto se lee: A son todoslos x reales tales que x es menor que cuatro.
Y el conjunto B:
El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.
El conjunto unión de A y B sería:
tambien se puede anotar:
La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.
El conjunto intersección de A y B no existe:
porque A y B no tienen puntos en común.
Definido el conjunto C:Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.
El conjunto intersección de A y C es:
El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluídos.
Entorno simétrico
Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:
Con la notacion indicamos.
Entorno reducido
Un entorno reducidode centro a y radio r se representa:
Con la notacion indicamos.
Nota
Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
[a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación ,denota un par ordenadoen teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo enálgebra.
Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito () para indicar que no hay cota.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según suscaracterísticas métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
Notación
Intervalo
Longitud
Descripción
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
Intervalo abierto.
Intervalosemiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo a la vez abierto y cerrado.
Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
x no existe
Sin longitud.
Conjunto vacío.
Propiedades
La intersección de intervalos de es también un intervalo.
La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo...
Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es unsubconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Caracterización
El intervalo real es la parte de que verifica la siguiente propiedad:
Si e pertenecen a con , entonces para todo tal que , se tieneque pertenece a
Notación
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalo abierto
No incluye los extremos.
o bien
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
Intervalo cerrado
Sí incluye los extremos.
Que se indica: Notación conjuntista o en términos de desigualdades
Intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
Con la notacion o bien indicamos.
En notación conjuntista:
Y con la notación o bien ,
En notación conjuntista:
Intervalo infinito
Incluye un extremos e infinito por la derecha.
Con la notacion indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:Y con la notación ,
Incluye un extremos e infinito por la izquierda.
Con la notacion indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:
Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Para todo valor real:
Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
Esto se lee: A son todoslos x reales tales que x es menor que cuatro.
Y el conjunto B:
El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.
El conjunto unión de A y B sería:
tambien se puede anotar:
La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.
El conjunto intersección de A y B no existe:
porque A y B no tienen puntos en común.
Definido el conjunto C:Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.
El conjunto intersección de A y C es:
El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluídos.
Entorno simétrico
Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:
Con la notacion indicamos.
Entorno reducido
Un entorno reducidode centro a y radio r se representa:
Con la notacion indicamos.
Nota
Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
[a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación ,denota un par ordenadoen teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo enálgebra.
Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito () para indicar que no hay cota.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según suscaracterísticas métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
Notación
Intervalo
Longitud
Descripción
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
Intervalo abierto.
Intervalosemiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo a la vez abierto y cerrado.
Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
x no existe
Sin longitud.
Conjunto vacío.
Propiedades
La intersección de intervalos de es también un intervalo.
La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo...
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