Intervalos






Introducción.
La estimación mediante Intervalos de Confianza, que es otro de los tres grandes conjuntos de técnicas que se utilizan en la Inferencia Estadística.
Disponemos de una muestra aleatoria (X1,...,Xn) de una característica X de una población. Pensamos que esta característica puede ser adecuadamente modelizada mediante un modelo de probabilidad con función de masa Pθ(x) (en el casodiscreto) o con función de densidad fθ(x) (en el caso continuo). En cualquiera de los casos, lo único que nos falta por conocer es el valor del parámetro θ ∈ Θ, que es desconocido.
Lo que se trata de hacer en este tema es encontrar intervalos que sirvan para estimar este parámetro desconocido, fijando el nivel de confianza que queremos que tenga dicha estimación.













Intervalo deconfianza
En primer lugar, vamos a definir lo que entenderemos por un intervalo de confianza para estimar un parámetro:
Definición.- Sea (X1,...,Xn) una muestra aleatoria de una característica X de una población con función de masa Pθ(x) (caso discreto), o con función de densidad fθ(x) (caso continuo), donde θ = (θ1,...,θk) es desconocido.
Un intervalo de confianza para estimar θi, con un nivel de confianza1−α, es una función que a cada posible muestra (x1,...,xn) le hace corresponder un intervalo (T1,T2) = (T1(x1,...,xn),T2(x1,...,xn)) tal que: P{(x1,...,xn) : θi ∈ (T1(x1,...,xn),T2(x1,...,xn))} = 1−α
1. El significado del nivel de confianza es el siguiente: Supongamos que un intervalo de confianza es construido con un nivel de confianza 1−α=0,95. Esto significa que la probabilidad de que el intervalocontenga al verdadero (y desconocido) valor de θi es 0,95. Es decir, el 95% de las veces, el intervalo construido funcionaria bien, en el sentido de que sería una buena estimación del parámetro θi. Por lo tanto, el nivel de confianza mide la probabilidad de buen funcionamiento de un intervalo y, por este motivo, el nivel de confianza siempre se elige próximo a 1.
2. Los valores tradicionalmente elegidospara 1−α son: 0,90, 0,95 y 0,99. El más habitual de todos es 1−α = 0,95. Si el nivel de confianza es demasiado próximo a 1, su probabilidad de buen funcionamiento será altísima, pero a costa de que la longitud del intervalo será muy grande, convirtiéndolo asi en algo inútil. Por este motivo, suele tomarse 1 − α = 0,95, que representa un valor de compromiso.

Estimador
Un estimador es una regla queestablece cómo calcular una estimación basada en las mediciones contenidas en una muestra estadística.

Valor α
También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05Valor critico
Se representa por Zα/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. Por ejemplo, para una distribución normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,1 secalcularía del siguiente modo: se busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado), bajo la columna "Área"; se observa que se corresponde con -1,28. Entonces Zα/2 = 1,64. Si la media o desviación típica de la distribución normal no coinciden con las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-μ)/σ para su cálculo.
Con estas definiciones, si tras la extracción de unamuestra se dice que "3 es una estimación de la media con un margen de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%", podemos interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen restando y sumando, respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de confianza según las definiciones dadas....