Introducción A La Axiomática

INTRODUCCIÓN A LA AXIOMÁTICA

El término AXIOMA nació con la filosofía antigua, antes de nuestra era, y  proviene de la voz griega ’  que significa proposición admitida. También, desde aquel entonces, surgió en las matemáticas un término que actualmente en la ciencia moderna se utiliza como sinónimo de axioma, se trata del vocablo POSTULADO, que proviene del latín “POSTULATUM” y significa cosarequerida.
¿Han sido siempre considerados sinónimos estos vocablos? Lo cierto es que NO. La diferenciación entre estos términos tiene su origen en la filosofía antigua: por axiomas se entienden los principios lógicos de partida y por postulados los principios iniciales de una teoría científica especial. Específicamente en las matemáticas, por axioma se entendía una verdad tan evidente por símisma  que se admite como tal porque está de acuerdo con la experiencia, considerándose como diferencia que el postulado expresa una propiedad más compleja que el axioma, es decir, la verdad correspondiente al postulado “dan deseos de demostrarla”. Pero, esta diferencia es muy relativa, y muy difícil de establecer, lo que muchos aceptan como completamente evidente, para otros tiene que ser demostrado.Por esto la ciencia moderna hace sinónimos los términos de axioma y postulado, aunque el término axioma es el más utilizado.
Además, axioma, en lógica y matemáticas es un principio básico que es asumido como verdadero sin recurrir a demostración alguna. El uso de axiomas para la resolución de problemas matemáticos empezó en la antigua Grecia, probablemente a partir del siglo V a.C., dio lugar alnacimiento de la matemática pura tal como hoy la conocemos. Ejemplos de axiomas podrían ser los siguientes: 'Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo' (principio de contradicción); 'Si a cantidades iguales se les añaden cantidades iguales, las sumas resultantes también son iguales'; 'El todo es mayor que cualquiera de sus partes'. La lógica y las matemáticas puras empiezancon algunas proposiciones indemostrables de las que se derivan otras proposiciones (teoremas). Hay que reconocer que este procedimiento es circular o bien que se da una infinita regresión en el razonamiento. Los axiomas de un sistema deben ser coherentes con algún otro, es decir, deben evitar incurrir en contradicción. Deben ser también independientes en el sentido de que no deben derivarse deningún otro y deben ser muy pocos en número. A veces los axiomas han de interpretarse como verdades evidentes en sí mismas. La tendencia actual es reconocer tal pretensión para aseverar que un axioma debe ser asumido como verdadero sin demostración alguna en el sistema de que forma parte.
Sin embargo, los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como sinónimos. Algunas veces lapalabra axioma se usa para referirse a los principios básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema deductivo, y el término postulado para señalar a los primeros principios peculiares de un sistema particular, como la geometría de Euclides. Rara vez se usa el término axioma para referirse a los primeros principios de la lógica, ni el término postulado para aludir a los primeros principios delas matemáticas.
La geometría clásica, de acuerdo con la forma que Euclides le dio en sus Elementos, pasó durante mucho tiempo como un modelo imposible de superar, y, al mismo tiempo, de igualar, de la teoría deductiva.
Los términos que son propios a la teoría jamás son presentados sin una definición previa, las proposiciones no se citan sin antes haber sido demostradas, con excepción de un númeroreducido que sí son enunciadas, en primer lugar, en calidad de principios. En efecto, una demostración no puede remontarse al infinito y debe basarse en algunas proposiciones primeras, pero éstas han sido escogidas de modo tal que no subsista duda alguna en espíritu de su sano juicio. No importa que todo lo que se afirme sea empíricamente cierto, pues no se apela a la experiencia para...