Introducción a la Computación Científica

Vectores

´
Definicion de vector
Definimos un vector fila de n componentes como un conjunto
ordenado de n numeros escritos como: x1 x2 . . . xn .
´

´
Repaso basico

 
x1
x1 
 
Un vector columna de n componentes se anota como:  . 
.
.
xn

Claudio Lobos
´
Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a
ı
´
Computacion Cient´fica I – ILI 285
ı

Un vector que tenga todassus componentes iguales a cero se
llama vector cero.
En general, cuando hablemos de un vector, debemos pensar en
un vector columna.
´
Computacion Cient´fica I
ı

Vectores

Vectores

Propiedades

Propiedades

Igualdad de vectores

´
Multiplicacion de vector por escalar

Dos vectores u y v son iguales solo si tienen el mismo numero de
´
componentes y sus componentescorrespondientes son iguales.

Sea u = u1

Suma vectorial

u2 . . . un

T

T

v2 . . . vn dos vectores,


u1 + v1
u2 + v2 


entonces se define la suma de u y v como u + v =  . 
 . 
.
un + vn
Sean u = u1

y v = v1

u2 . . . un

T

un vector y α un escalar. Entonces el



αu1
αu2 


´
producto αa esta dado por: αu =  . 
. 
 .
αun
De las definicionesanteriores se puede obtener, por ejemplo, la
diferencia de dos vectores como:

u − v = u + (−1)v

Vectores

Vectores

Propiedades

Propiedades

Producto escalar de dos vectores (A.K.A. Producto punto)
T

Sean u = u1 u2 . . . un y v = v1 v2
se define el producto escalar de u y v como

. . . vn

T

´
Sean u, v y w vectores de dimension n, y α, β escalares:
dos vectores,Otras propiedades

u+0 = u

u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + un vn

0u = 0

Cuidado! Para hacer producto punto entre dos vectores, es necesario
que ambos tengan el mismo numero de componentes.
´

u+v = v+u

Producto cruz

α(u + v) = αu + αv
T

Sean u = u1 u2 . . . un y v = v1 v2
se define el producto cruz de u y v como:

. . . vn

T

dos vectores,

(u + v) + w = u + (v + w)(α + β )u = αu + β u
(αβ )u = α(β u)

u × v = |u||v| sin θ n
ˆ

Matrices

Matrices
Propiedades

´
Definicion de matriz

Igualdad entre matrices

Se define una matriz A de m × n como un arreglo rectangular de mn
numeros distribuidos en m filas y n columnas.
´

Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) son iguales si tienen el mismo
˜
tamano y todos sus componentes correspondientesson iguales.



a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n

A= .
.
..
.
 .
.
.
.
am1 am2 . . . amn



Suma de matrices






Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de m × n, la suma de A y B
´
esta dado por:A + B = (aij + bij ) =



´
Un elemento aij cualquiera esta ubicado en la fila i y en la
columna j de la matriz A.
Se dice que A es una matriz cuadradacuando m = n.
Se dice que A es la matriz cero cuando aij = 0

∀(i, j) ∈ (m, n).

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
 a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n


.
.
.
.
.
.

.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn







´
Cuidado! La suma de dos matrices esta definida solamente cuando
˜
ambas matrices tienen el mismo tamano.

Matrices

MatricesPropiedades de las matrices

Propiedades de las matrices

Otras propiedades
´
Multiplicacion de una matriz por un escalar

U +0 = U

Sea A = (aij ) una matriz de m × n y α un escalar, entonces αA viene
dado por:

0U = 0



αa11 αa12 . . . αa1n
 αa21 αa22 . . . αa2n

αA = α(aij ) =  .
.
.
.
.
 .
.
.
.
αam1 αam2 . . . αamn

U +V = V +U



(U + V) + W = U + (V + W)




α(U + V) = αU + αV
(α + β )U = αU + β U
(αβ )U = α(β U)
´
Estas propiedades son analogas a las propiedades de los vectores.

Matrices

Sistemas de Ecuaciones

Operaciones

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Producto de dos matrices

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

Sea A = (aij ) una matriz de m × n y...