Introducción a la teoría de las ciencias computacionales

Introducción a la teoría de las ciencias computacionales

1. La definición de conjunto es la siguiente: “Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto”. Si A es un conjunto y a es un elemento, se utiliza la notación a∈A. Si A y B son conjuntos y todos los elementos de A son también elementos de B, se escribe A⊆B y se dice que A es un subconjunto de B. Tomando estanotación como ejemplo, defina los incisos a, b y c y liste tres propiedades para cada concepto, agregue un ejemplo para cada caso tomando el conjunto de números naturales como punto de partida:











a. Unión. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7}


Propiedades de la Unión:Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A={1,2,3} B={4,5,6} C={7,8,9}
Entonces:
{1,2,3,4,5,6} ∪ {7,8,9} = {1,2,3} ∪ {4,5,6,7,8,9}
Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :
A ∪ B = B ∪ A.
A={1,2,3} B={4,5,6}
Entonces:

{1,2,3} ∪ {4,5,6} ={4,5,6} ∪ {1,2,3}
Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:
A ∪ ∅ = A
A={1,2,3} B={4,5,6}
Entonces:
{1,2,3} ∪ {∅} = {1,2,3}










b. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B:

A ∩ B= {2,3,4}


Propiedades
Propiedad asociativa. Laintersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C :
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Si A= {1,2,3} B= {2,3,4,5} y C= {2,3,7,8,9}
Entonces:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {2,3}
Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :
A ∩ B = B ∩ A.
Si A= {1,2,3} B= {,3,4,5}
Entonces:

A ∩ B = B∩ A= {3}
Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:
A ∩ ∅ = ∅
Si A= {1,2,3}
Entonces:
{1,2,3} ∩ ∅ = ∅




c. Complemento. El complementario de A es otro conjunto AC cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

Ejemplo:
A= {1,2,3,4,5} AC= {6,7,8,9}

Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementosen consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno.

Ejemplo:
U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} UC= ∅; ∅C= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:
(A∁)∁ = A
Ejemplo:
A={1,2,3,4,5} (AC)C= {1,2,3,4,5}
La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A ∪ A∁ = U
Ejemplo:
{1,2,3,4,5} ∪ {6,7,8,9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A ∩ A∁ = ∅
Ejemplo:
{1,2,3,4,5} ∩ {6,7,8,9} = ∅


d. Escribir la notación para conjuntos finitos, abiertos y cerrados.
Un conjunto finito es aquél que tiene un número finito de elementos.
Ejemplo:
A= {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos.

Un conjunto abierto es donde cualquier elemento del conjuntonunca puede llegar a tocar la frontera del propio conjunto, pues siempre habrá más elementos entre él y dicho borde.
Ejemplo:
B=(0,1)



e. Con los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c,d}, obtener el producto cartesiano.
El producto cartesiano de dos conjuntos es una relación de orden que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando elprimer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Ejercicio:
AxB= {(1,a), (2,a), (3,a),(4,a), (1,b),(2,b), (3,b), (4,b), (1,c), (2,c), (3,c),(4,c), (1,d),(2,d), (3,d), (4,d)}

2. Para entender la teoría de las ciencias computacionales, es necesario entender los conceptos que le dan fortaleza, específicamente las bases de los lenguajes de programación...