Introducci n de ficica 1

Introducción

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo w realizado

por una fuerza w = f.d,el volumen v de un cilindro circular recto , el área de un triángulo A = b.h, son todas funciones de dos variables. El volumen de una caja rectangular V = V (l,a,h) = l . a . h es una función de tres variables.


Funciones dedos variablesEn el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:



Se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:





DEFINICIÓN DE UNA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea D unconjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f.


GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Observación: de manera análoga podemos definir funciones de tres o más variables, En todocaso el dominio será un subconjunto dey el recorrido un subconjunto de. Para efectos del curso nos limitaremos a estudiar los casos 


Ejemplo 1
Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones
1.

2.


Solución
Para hallar el dominio de f recuerde que el argumento de la raiz cuadrada debe ser positivo o cero:






Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra enla figura 1.


Figura 1: dominio de f(x,y)

Para hallar el dominio de g recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo : 






Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola misma, esto se muestra en la figura 2.


Figura 1: dominio de g(xam,y)
Las funciones de varias variables pueden combinarse de lamisma forma que lo hacemos con las funciones de una variable

Suma y resta:
Producto:
Cociente:
La función compuesta dada por se define solamente si es una función de dos variables y  una función de una única variable. En este caso

Para todo par  en el dominio de . Por ejemplo, la función



Puede verse como la composición de la función de dos variables


y la función de una variable
Una funciónque puede expresarse como suma de funciones de la forma  (donde c es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos varibles.Por ejemplo, la función 


es una función poli nómica.
Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.
Ejemplo 2
Determine el dominio de la función


Solución
Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemosque




Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.
Figura 3: dominio de f(x,y)



Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadaGráfica de una función de dos variables

Al igual que sucedía con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen z= f (x, y), con (x, y) en el dominio de f. En la figura 12.2 se ve que la gráfica de z= f (x, y) es una superficie cuya proyecciónsobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada (x, y) en D le corresponde un punto (x, y, z) en la superficie y, recíprocamente a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) de D.





DESCRIPCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

EJEMPLO 1: ¿Cuál es el recorrido de f(x,y) = √16 - 4x^2 + y^2?

Describir la gráfica de f

Solución:

El dominio de f, deducido...