Introducci n a la L gica y M todos de Demostraci n Ismael Garc a

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
Y MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

ISMAEL GARCÍA MARTÍN
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Introducción a la Lógica y Métodos de Demostración

PRÓLOGO

Tanto en su vida diaria como, sobre todo, en la investigación científica, el hombre debe
muchos de sus éxitos o fracasos a la eficacia de sus argumentos (o “razonamientos”).
La lógica es la disciplina que trata de los métodos derazonamiento; la lógica proporciona
reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento
lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación,
para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias físicas y naturales, para
sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, pararesolver una gran variedad de problemas. Claramente, se usa en forma constante el
razonamiento lógico.
La lógica simbólica o matemática es probablemente, en su parte elemental, la teoría
científica más sencilla, segura y completa de nuestro actual universo de conocimientos.
Esta teoría reúne un repertorio de tópicos, de ya consagrada validez, que han sido
adquiridos en el curso de los últimos cienaños: el álgebra de BOOLE (lógica de
enunciados), la axiomática cuantificacional de FREGE-RUSSEL, los cálculos de deducción
natural de GENTZEN, los métodos metamatemáticos de HILBERT, la semántica de
TARSKI y los concretos y más recientes resultados metateóricos de POST, SKOLEM,
GÔDEL-HENKIN y CHURCH.
Durante dos mil años los matemáticos han estado haciendo inferencias correctas, de índolesistemática, y los lógicos y filósofos han estado analizando la naturaleza de los argumentos
válidos. Es, en consecuencia, sorprendente que sólo en las tres o cuatro últimas décadas
haya sido desarrollada una teoría formal de la inferencia plenamente satisfactoria. En el
largo periodo que se extiende desde Aristóteles, en el siglo IV A.C., hasta Leibniz en el
siglo XVII, los lógicos de la antigüedad, losmedievales y los postmedievales descubrieron
mucho de importancia y significación sobre la lógica, pero el más importante defecto de
esta tradición clásica era su fracaso en relacionar la lógica como teoría de la inferencia a la
clase de razonamientos deductivos que se usan continuamente en matemáticas.
Leibniz tenía cierta visión sobre la necesidad de hacer esta conexión, pero hasta fines del
sigloXIX y comienzos del XX se establecieron relaciones sistemáticas entre la lógica y las
matemáticas, principalmente mediante las obras de FREGE, PEANO y RUSSEL. A pesar
del alcance y magnitud de sus investigaciones, sólo en años recientes ha sido formulada una
teoría completamente explícita de la inferencia, adecuada para manejar todos los casos
paradigmáticos de razonamiento deductivo, enmatemáticas y en las ciencias empíricas. Es
grande el número de personas que han contribuido a estos desarrollos, pero quizás los más
prominentes han sido KURT, GÔDEZ, DAVID HILBERT y ALFREDO TARSKI.
Los tres primeros capítulos de este texto son una introducción a la lógica simbólica
elemental para cualquier tipo de lector que esté interesado en introducirse en esta materia.
Como una aplicación de éstos, elcapítulo cuarto trata de los métodos de demostración en
matemáticas. La lógica no es solo ciencia, sino también arte de la deducción, y su dominio
exige, como la aritmética, la capacidad de efectuar cálculos bien hechos.
2

Introducción a la Lógica y Métodos de Demostración

El primer capítulo hace un recorrido por el cálculo proposicional que es la parte de la lógica
que trata sobre lasproposiciones y fue desarrollado sistemáticamente por primera vez por el
filósofo griego Aristóteles hace más de dos mil trescientos años. Este capítulo contiene el
material básico común de la mayor parte de los libros de lógica, se presentan las
proposiciones, conectivos lógicos y tablas de verdad. Además, se tratan también las
equivalencias lógicas como una herramienta esencial para trabajar el...