Introduccion Metodos Numericos

Métodos Numéricos I UNIDAD 1. ANÁLISIS DEL ERROR Introducción

1.1 Introducción2
Las fórmulas matemáticas y científicas pueden usarse para obtener respuestas numéricas a una gran diversidad deproblemas reales. Sin embargo, se debe estar preparado para enfrentar situaciones, como se muestra en los siguientes problemas: • Encontrar el valor mínimo o máximo que adquiere en el intervalo [0,1] lafunción F(x) =x6 + 5x − 9x + 1 • Dado un valor b > 0, evalúe la integral definida
4

∫

b

0

1 + x 3 dx

• Encuentre todos los puntos (x, y) en el cuadrado maximicen F(x, y) =x2 y4 + 2x −4y

x ≥ 0 y y ≤ 1 que minimicen o

• Encontrar la curva y = Y (x) que pase por el punto (0, 1) cuya pendiente de la tangente en cualquier punto P(x, y) iguala al cuadrado de la distancia de P(x,y) al origen, esto es, resolver la ecuación diferencial:

dy = y 2 + x 2 , como y = 1 cuando x = 0 dx
Estos problemas se pueden resolver de forma analítica para obtener una solución exacta (aunquealgunas veces esta forma se complica o no hay solución). Afortunadamente, rara vez se necesita la solución exacta ya que de hecho en el mundo real los problemas son por lo general soluciones inexactas,ya que se plantean en términos de parámetros que se miden los cuales son aproximados. Lo que suele ser necesario es, no una respuesta exacta, sino una aproximación a ella con un rango de errordefinido. Es por ello que en ocasiones basta con utilizar un método numérico que nos aproxime a la solución, cuando la solución analítica es compleja o no existe. Aun cuando una fórmula esté disponible sedebe tener cuidado porque los cálculos matemáticos nos pueden llevar tanto a respuestas correctas como incorrectas, ya que debemos tener cuidado con los supuestos bajo los cuales se puede aplicar elmétodo o bien con las medidas que se obtienen para formular el modelo. En el siguiente ejemplo mostraremos como tres ecuaciones que al desarrollar nos dan resultados similares si trabajamos con...