Introduccion Teoria Riesgo

Introducci´
on a la
teor´ıa del riesgo

Luis Rinc´on
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias UNAM
Circuito Exterior de CU
04510 M´exico DF

Enero 2012

Pr´
ologo
El presente texto contiene los temas del curso semestral de teor´ıa del riesgo
que el autor ha impartido a estudiantes de u
´ltimo semestre de la carrera de
actuar´ıa en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contiene el materialb´
asico
para un curso introductorio a ciertos temas de la teor´ıa del riesgo aplicada
a seguros, e incluye una colecci´on de ejercicios. La mayor parte del material
que se presenta aqu´ı fue compilado de las fuentes que aparecen al final del
texto. Espero que este material sea de alguna ayuda para los numerosos
alumnos de las distintas escuelas de actuar´ıa y de matem´
aticas aplicadas depa´ıses de habla hispana, y contribuya tambi´en a apoyar el trabajo docente
de sus profesores. El texto fue escrito en el sistema LATEX, las ilustraciones
fueron elaboradas usando el paquete pstricks. La u
´ltima versi´
on disponible
de este texto en su formato digital puede encontrarse en la p´
agina web
http://www.matematicas.unam.mx/lars
Agradezco sinceramente los comentarios, correcciones ysugerencias que he
recibido por parte de alumnos y profesores para mejorar este material. Y
agradezco tambi´en el apoyo del proyecto PAPIME PE103111 a trav´es del
cual pudo ser posible el desarrollo y la edici´
on de este texto. Toda comunicaci´
on puede enviarse a la cuenta de correo que aparece abajo.

Luis Rinc´on
Enero 2012
Ciudad Universitaria UNAM
lars@fciencias.unam.mx

Contenido
1. Modeloindividual vs modelo
1.1. Introducci´
on . . . . . . . . .
1.2. Modelo individual . . . . .
1.3. F´ormula de De Pril . . . . .
1.4. Modelo colectivo . . . . . .
1.5. Modelo colectivo Poisson . .
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . .

colectivo
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1
.1
. 3
. 8
. 16
. 23
. 30

2. F´
ormula de Panjer y m´
etodos de aproximaci´
on
2.1. F´ormula de Panjer . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Aproximaci´on normal . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Aproximaci´on gamma trasladada . . . . . . . . .
2.4. Aproximaci´on de Edgeworth . . . . . . . . . . . .
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Principios para el c´
alculo de primas
3.1. Principios generales . . . . . . . . . .
3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Primas y funciones de utilidad . . .
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Reaseguro
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4.1. Reaseguro proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Reaseguro no proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
iii

iv

Contenido

5. Teor´ıa de la credibilidad
95
5.1.Credibilidad cl´
asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. Credibilidad Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6. Procesos estoc´
asticos
6.1. Filtraciones y tiempos de paro
6.2. Cadenas de Markov . . . . . .
6.3. Proceso de Poisson . . . . . . .
6.4. Martingalas . . . . . . . . . . .
6.5.Ejercicios . . . . . . . . . . . .

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7. Teor´ıa de la ruina
7.1. Un proceso de riesgo a tiempo discreto
7.2. Modelo cl´
asico de Cram´er-Lundberg .
7.3. Probabilidad de ruina . . . . . . . . .
7.4. Severidad de la ruina ....