Introduccion a funciones matriciales

Factorizaciones, procesos y algoritmos de soluci´n o iterados para sistemas de ecuaciones lineales
David Wong Aitken correo-e: dwong@inf.unitru.edu.pe Estudiante de ciencias de la computaci´n o Facultad de ciencias f´ ısicas y matem´ticas a Universidad Nacional de Trujillo 6 de enero de 2004
Resumen En este trabajo se pretende dar algunos m´todos diferentes para factorizar e matrices que puedanser algorimizables en un computador, usando lenguajes como Matlab, el lenguaje C o el Fortran. (en este caso, se implementar´n a en lenguaje de matlab). Tambi´n se trata de hacer un peque˜o comentario a e n cada m´todo visto. e Palabras clave: ´lgebra lineal, matlab, algoritmo, matem´ticas, computaci´n. a a o

´ Indice
1. Introducci´n o 2. Eliminaci´n gaussiana con sustituci´n hacia adelante oo 3. Factorizaci´n LU o 4. Factorizaci´n LUD o 5. Factorizaci´n PA=LU o 6. M´todo iterativo de Jacobi e 1 3 3 5 8 10 13

7. M´todo iterativo de Gauss-Seidel e 8. Proceso de Gram-Schmidt 9. Factorizaci´n QR o

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1.

Introducci´n o

En la vida real, muchas veces podemos obtener respuestas a problemas las cuales vienen expresadas en forma de sistema de ecuaciones lineales dela forma Ax = b. Cuando la matriz es peque˜a no hay mucho problema, porque podemos proceder de n forma manual (con l´piz y papel) a solucionar dichos sistemas (usando los m´todos a e conocidos). Pero, tendremos problemas para dar solucion a sistemas los cuales se expresan por matrices en orden mn siendo m y n muy grandes. La forma manual es tendiosa, engorrosa y propensa a errores de c´lculo. Esen estos casos que a necesitamos ayuda herramienta computadora para que pueda (por medio de ciertas t´cnicas) dar soluci´n a estos sistemas de ecuaciones. As´ es como es este trabajo e o ı, se encarga de esas t´cnicas de operar que se repetir´n (iterar´n) encontrar con e a a la soluci´n final (nosotros llamaremos a estas t´cnicas algoritmos iterativos). o e

2.

Eliminaci´n gaussiana consustituci´n hacia adeo o lante

Este m´todo se basa en el m´todo del gran matem´tico Gauss 1 . Este m´todo, e e a e por ser de dominio general y adem´s ser una de las primeras t´cnicas aprendidas a e en cualquier curso de ´lgebra lineal, no ser´ mostrado aqu´ (pero su algoritmo s´ a a ı ı). Los pasos para solucionar cualquier sistema de matrices (que tenga soluci´n) v´ o ıa el m´todo de gauss es elsiguiente: e 1. Se procede a colocar la matriz Amn de forma ampliada (con su vector libre de variables). 2. hacemos i = 1. 3. Dividimos la toda la fila i por el valor de aij (siendo j el primer elemento diferente de cero en dicha fila). 4. Igualamamos la fila siguiente con el resultado de la resta entre a(a+1) j − aaj (siendo j el primer elemento diferente de cero en dicha fila). 5. Sumamos uno a i,siendo este el nuevo valor de i
Johan Karl Friedrich Gauss, 1777-1855, fue uno de los m´s grandes matem´ticos de la a a historia. Realiz´ trabajos importantes en casi todas las ramas de la matem´tica, incluyendo el o a c´lculo, la teor´ de los n´meros y la geometr´ adem´s de efectuar trabajo fundamental en la a ıa u ıa, a f´ ısica (la unidad de flujo magn´tico lleva su nombre). Entre sus logros m´sfamosos est´n las e a a demostraciones del teorema fundamental del ´lgebra (que toda ecucaci´n algebraica tiene por lo a o menos una ra´ y el teorema fundamental de la aritm´tica (que todo entero puede representarse ız) e como el producto de n´meros primeros en una y solamente una manera. u
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6. Repetimos el procedimiento desde el paso 3 hasta hacer que i = m De esta hacemos de Amn unamatriz triangular superior. Las soluciones se hallan igualando los coeficientes a la columna del resultado. Ahora, mostraremos la implementaci´n del m´todo de Gauss utilizando como o e lenguaje a Matlab, utilizando regresi´n progresiva (hacia adelante). o % Programa para la eliminacion gausiana % con sustitucion hacia adelante. %% % Factorizamos la Matriz [A b] function X=elimgau(A,b) clc [m...